Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足條件f（x+2）=-f（x）且f（-x-1）=-f（x-1），給出下列命題：
①函數(shù)f（x）為周期函數(shù)
②函數(shù)f（x）為偶函數(shù)
③函數(shù)f（x）為奇函數(shù)
④函數(shù)f（x）在R上為單調(diào)函數(shù)
⑤函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱．
其中正確的命題是（　�。�

• A、①③⑤
• B、②④⑤
• C、①③④
• D、①②⑤

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：閱讀型,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件f（x+2）=-f（x），可判斷函數(shù)的周期，可判斷①；由條件f（x+2）=-f（x），f（-x-1）=
-f（x-1），可推出f（-x-2）=f（x+2），即可判斷②③④，由f（-x-1）=-f（x-1），和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可判斷⑤．

解答： 解：∵定義在R上的函數(shù)f（x）滿足條件f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
即函數(shù)f（x）是以4為最小正周期的函數(shù)，
故①對(duì)；
∵f（-x-1）=-f（x-1），
∴f（-x-2）=-f（x）
即f（-x-2）=f（x+2），
即有f（-x）=f（x），
故f（x）為偶函數(shù)，
故②對(duì)，③錯(cuò)，④錯(cuò)；
∵f（-x-1）=-f（x-1），
即f（-1-x）+f（-1+x）=0，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可知，f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-1，0）對(duì)稱，
故⑤對(duì)．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及運(yùn)用，考查函數(shù)的周期性和奇偶性，對(duì)稱性及運(yùn)用，考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，屬于中檔題．