【題目】已知定義在實數(shù)集上的偶函數(shù)和奇函數(shù)滿足.

（1）求與的解析式；

（2）求證：在區(qū)間上單調(diào)遞增；并求在區(qū)間的反函數(shù)；

（3）設（其中為常數(shù)），若對于恒成立，求的取值范圍.

【答案】(1) ，. (2)證明見解析；，. (3)

【解析】

（1）利用奇偶性可得，，即，聯(lián)立求解即可；

（2）求出的解析式，根據(jù)定義式證明在上單調(diào)遞增，根據(jù)反函數(shù)的概念求出的反函數(shù)和定義域；

（3）由題目所給的條件，把替換成，并寫出的取值范圍，通過變量分離把放到不等式的一邊解出的取值范圍.

解：（1），∴，

為偶函數(shù)，為奇函數(shù)，∴，

，∴，

∴，.

（2）對，且，

，，

∴在上是增函數(shù)；

的值域是，

根據(jù)反函數(shù)的概念

設，則，令，

則，再由解得

，即.

因為，

所以，所以，

因此的反函數(shù)，.

（3）在上單調(diào)遞增，

令，，

∴對于恒成立，

∴，

對于恒成立，令

，

當且僅時等號成立，

∴，∴.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設f(x)是定義在R上的函數(shù)，對m，n∈R，恒有f(m＋n)＝f(m)·f(n)(f(m)≠0，f(n)≠0)，且當x＞0時，0＜f(x)＜1.

(1)求證f(0)＝1；

(2)求證x∈R時，恒有f(x)＞0；

(3)求證f(x)在R上是減函數(shù)．

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【題目】已知函數(shù).

(1)當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

(2)求函數(shù)的極值.

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【題目】已知曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)），曲線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）．

（Ⅰ）將曲線，的參數(shù)方程化為普通方程；

（Ⅱ）求曲線上的點到曲線的距離的最大值和最小值．

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【題目】設且，則“函數(shù)在上是減函數(shù)”是“函數(shù)在上是增函數(shù)”的（ ）條件．

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】函數(shù)f(x)對任意的m，n∈R都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x＞0時，恒有f(x)＞1.

(1)求證：f(x)在R上是增函數(shù)；

(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)＜2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，已知都是邊長為的等邊三角形，為中點，且平面，為線段上一動點，記．

（1）當時，求異面直線與所成角的余弦值；

（2）當與平面所成角的正弦值為時，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，(e是自然對數(shù)的底數(shù))，對任意的R，存在，有，則的取值范圍為____________.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】關于函數(shù)，有下列命題：①當時，是增函數(shù)；當時，是減函數(shù)；②其圖象關于軸對稱；③無最大值，也無最小值；④在區(qū)間上是增函數(shù)；⑤的最小值是。其中所有不正確命題的序號是________

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