已知拋物線y2=2px(p>0),點P(
8
5
,
4
5
),線段OP的垂直平分線經(jīng)過拋物線的焦點F,經(jīng)過F作兩條互相垂直的弦AB、CD、,設AB、CD的重點分別為M、N
(1)求拋物線的方程;
(2)直線MN是否經(jīng)過定點?若經(jīng)過,求出定點坐標;若不經(jīng)過,試說明理由.
(1)由p(
8
5
,
4
5
),O(0,0),
∴kOP=
1
2
,線段OP的中點為:(
4
5
,
2
5
),
∴OP的垂直平分線所在直線方程y-
2
5
=-2(x-
4
5
)
,即2x+y-2=0.
令y=0,解得:x=1,故得:p=2
拋物線方程為:y2=4x…..(4分)
(2)假設直線MN國定點
設A(xA,yA),B (xB,yB),M(xM,yM),
設直線AB的斜率為k,則直線AB的方程為y=k(x-1)
與拋物線聯(lián)立可得:k2x2-(2k2+4)x+k2=0
由韋達定理:xA+xB=2+
4
k 2

∴xM=
2
k 2
+1
∴點M的坐標為(
2
k 2
+1,-2k)
當k≠±1
直線MN的斜率為:
k
1-k 2

方程為:y+2k=
k
1-k 2
(x-2k2-1
整理得:y(1-k2)=k(x-3)
直線恒經(jīng)過定點(3,0)
當k=±1時,直線MN方程為X=3,經(jīng)過(3,0)
綜上,不論k為何值,直線MN恒過定點(3,0)…(12分)
練習冊系列答案
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已知拋物線y2=2px(p>0).過動點M(a,0)且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B,|AB|≤2p.
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(2)過點F作一直線與拋物線相交于A,B兩點,并在準線l上任取一點M,當M不在x軸上時,證明:
kMA+kMBkMF
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OA
OB
=
0
0

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