Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，4S_n=a_n²+2a_n且a_n＞0，又點（a_n，b_n）在函數(shù)f（x）=2^x的圖象上（其中n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）設(shè)c_n=a_n•sin²（

nπ

2

）-b_n•cos²（

nπ

2

）（n∈N^*），求數(shù)列{c_n}的前2n項和T_2n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）4S_n=a_n²+2a_n且a_n＞0，當n=1時，4S1=4a1=

a

2 1

+2a1，解得a₁=2．當n≥2時，利用4a_n=4（S_n-S_n-1）可得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由a_n＞0，可得a_n-a_n-1=2．利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．又點（a_n，b_n）在函數(shù)f（x）=2^x的圖象上（其中n∈N^*），代入即可得出．
（2）c_n=a_n•sin²（

nπ

2

）-b_n•cos²（

nπ

2

）=2n•sin²（

nπ

2

）-4ⁿ•cos²（

nπ

2

），可得：c₁=2，c₂=-4²，c₃=6，c₄=-4⁴，…，分奇數(shù)項和偶數(shù)項分別利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）∵4S_n=a_n²+2a_n且a_n＞0，∴當n=1時，4S1=4a1=

a

2 1

+2a1，解得a₁=2．
當n≥2時，4a_n=4（S_n-S_n-1）=a_n²+2a_n-(

a

2 n-1

+2an-1)，化為（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，∴a_n=2+2（n-1）=2n．
又點（a_n，b_n）在函數(shù)f（x）=2^x的圖象上（其中n∈N^*）．
∴bn=2an=4ⁿ．
（2）c_n=a_n•sin²（

nπ

2

）-b_n•cos²（

nπ

2

）=2n•sin²（

nπ

2

）-4ⁿ•cos²（

nπ

2

），
可得，c₁=2，c₂=-4²，c₃=6，c₄=-4⁴，
…，
∴T_2n=（c₁+c₃+…+c_2n-1）+（c₂+c₄+…+c₄）
=（2×1+2×3+…+2×（2n-1））+（-4²-4⁴-…-4²ⁿ）
=2×

n(1+2n-1)

2

-

16(16n-1)

16-1

=2n²-

16

15

(16n-1)．

點評：本題考查了遞推式的意義、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．