【題目】已知A、B、C是橢圓W上的三個(gè)點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).

(I)當(dāng)點(diǎn)BW的右頂點(diǎn),且四邊形OABC為菱形時(shí),求此菱形的面積.

(II)當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),判斷四邊形OABC是否可能為菱形,并說明理由.

【答案】(I)(II) 不可能是菱形

【解析】

解:(1)橢圓Wy21的右頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)

因?yàn)樗倪呅?/span>OABC為菱形,所以ACOB相互垂直平分.

所以可設(shè)A(1,m),

代入橢圓方程得m21,即m±.

所以菱形OABC的面積是

|OB|·|AC|×2×2|m|.

(2)四邊形OABC不可能為菱形.理由如下:

假設(shè)四邊形OABC為菱形.

因?yàn)辄c(diǎn)B不是W的頂點(diǎn),且直線AC不過原點(diǎn),

所以可設(shè)AC的方程為ykxm(k≠0,m≠0)

y并整理得(14k2)x28kmx4m240.

設(shè)A(x1,y1),C(x2,y2),則=-,m.

所以AC的中點(diǎn)為M.

因?yàn)?/span>MACOB的交點(diǎn),

所以直線OB的斜率為-.

因?yàn)?/span>1,所以ACOB不垂直.

所以四邊形OABC不是菱形,與假設(shè)矛盾.

所以當(dāng)點(diǎn)B不是W的頂點(diǎn)時(shí),四邊形OABC不可能是菱形.

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