Question

【題目】如圖，三角形ABC的外接圓的O半徑為，CD垂直于外接圓所在的平面，

（1）求證：平面 平面．

（2）試問線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）滿足條件的點(diǎn)M存在，且點(diǎn)M的坐標(biāo)為。

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合幾何關(guān)系可證得AC⊥BC，CD⊥BC，利用線面垂直的判斷定理有BC⊥平面ACD，然后利用面面垂直的判斷定理可得平面ADC平面BCDE

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合題意可得滿足條件的點(diǎn)M存在，且點(diǎn)M的坐標(biāo)為。

試題解析：

（1）∵CD ⊥平面ABC，BE//CD

∴ BE⊥平面ABC，∴BE⊥AB

∵BE=1， ∴ ，

從而

∵⊙的半徑為，∴AB是直徑，

∴AC⊥BC

又∵CD ⊥平面ABC，∴CD⊥BC，故BC⊥平面ACD

平面BCDE，∴平面ADC平面BCDE

（2）建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系C—xyz，

則：A（4，0，0），B（0，2，0），D（0，0，4），E（0，2，1），O（0，0，0），則

易知平面ABC的法向量為，假設(shè)M點(diǎn)存在，設(shè)，則，再設(shè) ，

即，從而…10分

設(shè)直線BM與平面ABD所成的角為，則：

解得，其中應(yīng)舍去，而故滿足條件的點(diǎn)M存在，且點(diǎn)M的坐標(biāo)為