Question

已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)點A（x，y）到點F₁（-1，0）與點F₂（1，0）的距離之和為4．
（1）試求點A的軌跡M的方程；
（2）若斜率為

1

2

的直線l與軌跡M交于C、D兩點，點P(1，  

3

2

)為軌跡M上一點，記直線PC的斜率為k₁，直線PD的斜率為k₂，試問：k₁+k₂是否為定值？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題知|AF₁|+|AF₂|=4，|F₁F₂|=2，則|AF₁|+|AF₂|＞|F₁F₂|，由橢圓的定義知點A軌跡M是橢圓其中a=2，c=1，從而能求出橢圓M的方程．
（2）設(shè)直線l的方程為：y=

1

2

x+b，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），聯(lián)立直線l的方程與橢圓方程，得x²+bx+b²-3=0，當(dāng)△＞0時，即b²-4（b²-3）＞0，直線l與橢圓有兩交點，由韋達(dá)定理，得：

x1+x2=-b x1•x2=b2-3

，由此能夠得到k₁+k₂為定值．

解答： 解：（1）由題知|AF₁|+|AF₂|=4，|F₁F₂|=2，則|AF₁|+|AF₂|＞|F₁F₂|
由橢圓的定義知點A軌跡M是橢圓，其中a=2，c=1．
因為b²=a²-c²=3，
所以，軌跡M的方程為

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)直線l的方程為：y=

1

2

x+b，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
聯(lián)立直線l'的方程與橢圓方程，消去y可得：3x2+4(

1

2

x+b)2=12，
化簡得：x²+bx+b²-3=0
當(dāng)△＞0時，即，b²-4（b²-3）＞0，也即|b|＜2時，直線l'與橢圓有兩交點，
由韋達(dá)定理得：

x1+x2=-b x1•x2=b2-3

，
所以，k1=

y1- 3 2

x1-1

=

1 2 x1+b- 3 2

x1-1

，k2=

y2- 3 2

x2-1

=

1 2 x2+b- 3 2

x2-1

則k₁+k₂=

1 2 x1+b- 3 2

x1-1

+

1 2 x2+b- 3 2

x2-1

=

x1•x2+(b-2)(x1+x2)+3-2b

(x1-1)(x2-1)

=

b2-3+(b-2)(-b)+3-2b

(x1-1)(x2-1)

=0，
所以，k₁+k₂為定值．

點評：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高．