Question

如圖，拋物線的方程為y²=2px（p＞0）．
（1）當p=4時，求該拋物線上縱坐標為2的點到其焦點F的距離；
（2）已知該拋物線上一點P的縱坐標為t（t＞0），過P作兩條直線分別交拋物線與A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），當PA與PB的斜率存在且傾斜角互補時，求證：

y1+y2

t

為定值；并用常數(shù)p、t表示直線AB的斜率．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由拋物線定義知：該拋物線上縱坐標為2的點到焦點F的距離即為其到準線x=-2的距離，由此能求出結(jié)果．
（2）設P(

t2

2p

，t)（t＞0），由已知條件得到k_PA+k_PB=0，從而能夠推導出

1

y1+t

+

1

y2+t

=0，由此能用常數(shù)p、t表示直線AB的斜率．

解答： 解：（1）∵拋物線的方程為y²=2px（p＞0），
∴當p=4時，y²=8x，代入y=2，解得x=

1

2

．
則由拋物線定義知：該點到焦點F的距離即為其到準線x=-2的距離，
∴該拋物線上縱坐標為2的點到其焦點F的距離d=

1

2

-(-2)=

5

2

．
（2）設P(

t2

2p

，t)（t＞0），
由題意k_PA+k_PB=0，即

y1-t

x1- t2 2p

+

y2-t

x2- t2 2p

=0，
∵A、B在拋物線上，
∴上式可化為

y1-t

y12 2p - t2 2p

+

y2-t

y22 2p - t2 2p

=0，
∴

1

y1+t

+

1

y2+t

=0，
從而有y₁+y₂+2t=0，即

y1+y2

t

=-2為定值．
直線AB的斜率k_AB=

y1-y2

x1-x 2

=

y1-y2

y12 2p - y22 2p

=

2p

y1+y2

-

p

t

．

點評：本題考查拋物線上的點到其焦點的距離的求法，考查直線的斜率的求法，解題時要熟練掌握拋物線的簡單性質(zhì)，要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．