已知F（c，0）是橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，圓F：（x-c）2+y2=a2與x軸交于E，D兩點(diǎn)，B是橢圓C與圓F的一個交點(diǎn)，且|BD|=
3
×|BE|．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）過點(diǎn)B與圓F相切的直線l與C的另一交點(diǎn)為A，且△ABD的面積等于24×
6
×
c
13
，求橢圓C的方程．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由題設(shè)條件推導(dǎo)出△BED是直角三角形，△BEF是等邊三角形，由此能求出橢圓C的離心率．
（2）由切線性質(zhì)推導(dǎo)出BF⊥BG，在Rt△BFG中，∠3=30°，直線BG為：y=
3
3
x+
3
c，從而得到yA=
5
3
13
c，OD=OG=3c，GD=6c，由此能求出橢圓C的方程．
解答： 解：（1）如圖，∵EF=BF=DF=a，|BD|=
3
×|BE|，
∴△BED是直角三角形，∠1=60°，
∵BF=EF，∴△BEF是等邊三角形，
∴BF=2OF，
∵OF=c，BF=a，
∴e=
c
a
=
1
2
．
（2）∵過點(diǎn)B與圓F相切的直線l與C的另一交點(diǎn)為A，
∴BF⊥BG，∴在Rt△BFG中，∠3=30°，
∵B（0，
3c
），kBG=
3
3
，∴直線BG為：y=
3
3
x+
3
c，
∴
x2
4c2
+
y2
3c2
=1
y=
3
3
x+
3
c
，
解得yA=
5
3
13
c，
∵FD=a=2c，∴OD=OG=3c，∴GD=6c，
∵S△ABD=S△BDG-S△ADG，
24
6
13
c=
1
2
GD(BO-yA)=
1
2
×6c(
3
c-
5
3
13
c)，
∴c=
2
，∴a2=8，b2=6，
∴橢圓C的方程為：
x2
8
+
y2
6
=1．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的離心率和橢圓方程的求法，是中檔題，解題時要注意圓的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想的靈活運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知實(shí)數(shù)x，y滿足
x-y+6≥0
x+y≥0
x≤3.
，若z=ax+y的最大值為3a+9，最小值為3a-3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�
A、[-1，1]
B、[-1，2]
C、[2，3]
D、[-1，3]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知集合A={x|x2-3x＜0}，B={x||x-2|＜1}，則“a∈A”是“a∈B”的（　�。�
A、充分而不必要條件
B、必要而不充分條件
C、充要條件
D、既不充分也不必要條件

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）左焦點(diǎn)F1（-c，0）作傾斜角為30°的直線L交雙曲線右支于點(diǎn)P，線段PF1的中點(diǎn)在y軸上，雙曲線右焦點(diǎn)F2（c，0）到雙曲線的漸近線的距離是2．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；   
（Ⅱ）設(shè)以F1F2為直徑的圓與直線L交于點(diǎn)Q，過右焦點(diǎn)F2和點(diǎn)Q的直線L′與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，求弦|AB|的長度．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)(
3
，-
3
2
)，且橢圓的離心率e=
1
2
，過橢圓的右焦點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于點(diǎn)A、B及C、D．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求證：
1
|AB|
+
1
|CD|
為定值；
（Ⅲ）求|AB|+
9
16
|CD|的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，已知橢圓C的兩個焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、F2（1，0），且F2到直線x-
3
y-9=0的距離等于橢圓的短軸長．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓P的圓心為P（0，t）（t＞0），且經(jīng)過F1、F2，Q是橢圓C上的動點(diǎn)且在圓P外，過Q作圓P的切線，切點(diǎn)為M，當(dāng)|QM|的最大值為
3
2
2
時，求t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1的右焦點(diǎn)為F1（3，0），設(shè)直線y=kx與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，M、N分別為線段AF1，BF1的中點(diǎn)，若坐標(biāo)原點(diǎn)O在以MN為直徑的圓上，請運(yùn)用橢圓的幾何性質(zhì)證明線段|AB|的長是定值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知F是橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的一個焦點(diǎn)，B是短軸的一個端點(diǎn)，線段BF的延長線交橢圓于點(diǎn)D，且
BF
=
5
3
FD
．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)動直線y=kx+m與橢圓有且只有一個公共點(diǎn)P，且與直線x=4相交于點(diǎn)Q，若x軸上存在一定點(diǎn)M（1，0），使得PM⊥QM，求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=sinx．
（Ⅰ）令f1(x)=f′(x)，fn+1(x)=
f
′
n
(x)，(n∈N*)，求f2014（x）的解析式； 
（Ⅱ）若f（x）+1≥ax+cosx在[0，π]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：f(
π
2n+1
)+f(
2π
2n+1
)+…+f(
(n+1)π
2n+1
)≥
3
2
(n+1)
4(2n+1)
．

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