Question

如圖所示，已知橢圓C的兩個焦點分別為F₁（-1，0）、F₂（1，0），且F₂到直線x-

3

y-9=0的距離等于橢圓的短軸長．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若圓P的圓心為P（0，t）（t＞0），且經過F₁、F₂，Q是橢圓C上的動點且在圓P外，過Q作圓P的切線，切點為M，當|QM|的最大值為

3 2

2

時，求t的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）設出橢圓方程，利用已知條件點到直線的距離求解b，然后求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設Q（x，y），求出圓P的方程為x²+（y-t）²=t²+1，利用PM⊥QM，求出|OM|的表達式，利用|QM|取得最大值，求出t的值．

解答： 解：（Ⅰ）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
依題意，2b=

|1-9|

2

=4，
∴b=2…（2分）
又c=1，∴a²=b²+c²=5，
∴橢圓C的方程為

x2

5

+

y2

4

=1．…（5分）
（Ⅱ） 設Q（x，y）（其中

x2

5

+

y2

4

=1），…（6分）
圓P的方程為x²+（y-t）²=t²+1，…（7分）
∵PM⊥QM，
∴|QM|=

|PQ|2-t2-1

=

x2+(y-t)2-t2-1

=

- 1 4 (y+4t)2+4+4t2

…（9分）
當-4t≤-2即t≥

1

2

時，當y=-2時，|QM|取得最大值，
且|QM|max=

4t+3

=

3 2

2

，解得t=

3

8

＜

1

2

（舍去）．…（11分）
當-4t＞-2即0＜t＜

1

2

時，當y=-4t時，|QM|取最大值，
且|QM|max=

4+4t2

=

3 2

2

，
解得t2=

1

8

，又0＜t＜

1

2

，∴t=

2

4

．…（13分）
綜上，當t=

2

4

時，|QM|的最大值為

3 2

2

．…（14分）

點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，直線與圓的位置關系，函數的最值的應用，考查分析問題解決問題的能力．