Question

函數(shù)f（x）=sinx．
（Ⅰ）令f1(x)=f′(x)，fn+1(x)=

f

′ n

(x)，(n∈N*)，求f₂₀₁₄（x）的解析式； 
（Ⅱ）若f（x）+1≥ax+cosx在[0，π]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：f(

π

2n+1

)+f(

2π

2n+1

)+…+f(

(n+1)π

2n+1

)≥

3 2 (n+1)

4(2n+1)

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系得到函數(shù)的周期性即可求f₂₀₁₄（x）的解析式； 
（Ⅱ）法1：將不等式f（x）+1≥ax+cosx在[0，π]上恒成立，進(jìn)行參數(shù)分離，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
法2；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，也可求a的取值范圍．
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)論即可證明不等式．

解答： 解：（Ⅰ）f₁（x）=cosx，f₂（x）=-sinx，f₃（x）=-cosx，f₄（x）=sinx…周期為4，
∴f₂₀₁₄（x）=f_503×4+2（x）=f₂（x）=-sinx．
（Ⅱ）方法一：即sinx+1≥ax+cosx在[0，π]上恒成立，
當(dāng)x=0時(shí)，a∈R；
當(dāng)x∈（0，π]時(shí)，a≤

sinx-cosx+1

x

，
設(shè)g(x)=

sinx-cosx+1

x

，g′(x)=

(cosx+sinx)x-(sinx-cos+1)

x2

=

xcosx+xsinx-sinx+cosx-1

x2

，
設(shè)h（x）=xcosx+xsinx-sinx+cosx-1，h′（x）=x（cosx-sinx），
則x∈(0，

π

4

)時(shí)h′（x）＞0，h（x）增；x∈(

π

4

，π]，h(x)減．
而h(0)=0，h(

π

4

)＞0，h(π)＜0，
∴h（x）在(

π

4

，π]上存在唯一零點(diǎn)，
設(shè)為x₀，則x∈（0，x₀），h（x）＞0，g（x）＞0；x∈（x₀，π]，h（x）＜0，g（x）＜0，
∴g（x）在x₀處取得最大值，在x=π處取得最小值，∴a≤g(π)=

2

π

．
綜上：∴a≤

2

π

．
方法二：設(shè)g（x）=sinx+1-ax-cosx，g′(x)=cosx-a+sinx=

2

sin(x+

π

4

)-a．
∵x∈[0，π]，∴

2

sin(x+

π

4

)∈[-1，

2

]．
當(dāng)a≤-1時(shí)，g′（x）≥0在[0，π]上恒成立，
∴g（x）≥g（x）_min=g（0）=0成立，故a≤-1；
當(dāng)a≥

2

時(shí)，g′（x）≤0在[0，π]上恒成立，g（x）_min=g（π）=2-πa≥0得a≤

2

π

，無解．
當(dāng)-1＜a＜

2

時(shí)，則存在x₀∈（0，π]使得x∈（0，x₀）時(shí)g（x）增，x∈（x₀，π]時(shí)g（x）減，
故g（x）_min={g（0），g（π）}，
∴

g(0)≥0 g(π)≥0

，解得a≤

2

π

，故-1＜a≤

2

π

．
綜上：∴a≤

2

π

．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：x∈[0，π]時(shí)sinx+1≥

2

π

x+cosx，
∴sinx-cosx≥

2

π

x-1
即

2

sin(x-

π

4

)≥

2

π

x-1．
當(dāng)1≤k≤n+1時(shí)，0≤

kπ

2n+1

+

π

4

≤π，
∴

2

sin

kπ

2n+1

=

2

sin(

kπ

2n+1

+

π

4

-

π

4

)≥

2

π

(

kπ

2n+1

+

π

4

)-1=

2k

2n+1

-

1

2

，
∴

2

[f(

π

2n+1)

)+f(

2π

2n+1)

+…+f(

(n+1)π

2n+1

)]≥(

2

2n+1

-

1

2

)+…+(

2(n+1)

2n+1

-

1

2

=

2

2n+1

•

(n+1)(n+2)

2

-

n+1

2

=

3(n+1)

2(2n+1)

，
∴f(

π

2n+1

)+f(

2π

2n+1

)+…+f(

(n+1)π

2n+1

)≥

3 2 (n+1)

4(2n+1)

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的遞推公式的應(yīng)用，不等式恒成立以及不等式的證明，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大．