已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，直線l過點A（4，0）且與拋物線交于P，Q兩點．并設以弦PQ為直徑的圓恒過原點．
（Ⅰ）求焦點坐標；
（Ⅱ）若
FP
+
FQ
=
FR
，試求動點R的軌跡方程．
（Ⅰ）設直線l方程為x=ky+4，代入y2=2px得y2-2kpy-8p=0
設P（x1，y1），Q（x2，y2），則有y1+y2=2kp，y1y2=-8p
而
OP
•
OQ
=0，
故0=x1x2+y1y2=（ky1+4）（ky2+4）-8p=k2y1y2+4k（y1+y2）+16-8p
即0=-8k2 p+8k2p+16-8p，得p=2，焦點F（1，0）．
（Ⅱ）設R（x，y），由
FP
+
FQ
=
FR

得（x1-1，y1）+（x2-1，y3）=（x-1，y）
所以x1+x2=x+1，y1+y2=y
而y12=4x1，y22=4x2，
可得y（y1-y2）=（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）
又FR的中點坐標為M(
x+1
2
，
y
2
)，
當x1≠x2時，利用kPQ=kMA有
4
y
=
y1-y2
x1-x2
=
y
2
x+1
2
-4

整理得，y2=4x-28．
當x1=x2時，R的坐標為（7，0），也滿足y2=4x-28．
所以y2=4x-28即為動點R的軌跡方程．
練習冊系列答案
相關習題

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已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動點M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|≤2p．
（1）求a的取值范圍；
（2）若線段AB的垂直平分線交x軸于點N，求△NAB面積的最大值．

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已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點為F，準線為l．
（1）求拋物線上任意一點Q到定點N（2p，0）的最近距離；
（2）過點F作一直線與拋物線相交于A，B兩點，并在準線l上任取一點M，當M不在x軸上時，證明：
kMA+kMBkMF
是一個定值，并求出這個值．（其中kMA，kMB，kMF分別表示直線MA，MB，MF的斜率）

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已知拋物線y2=2px（p＞0）．過動點M（a，0）且斜率為1的直線l與該拋物線交于不同的兩點A、B，|AB|≤2p．求a的取值范圍．

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（2009•聊城一模）已知拋物線y2=2px（p＞0），過點M（2p，0）的直線與拋物線相交于A，B，
OA
•
OB
=
0
0
．

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已知拋物線y2=2px（p＞0），M（2p，0），A、B是拋物線上的兩點．求證：直線AB經(jīng)過點M的充要條件是OA⊥OB，其中O是坐標原點．

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