Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓與的離心率相等．橢圓的右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，射線與橢圓交于點(diǎn)C，橢圓的右頂點(diǎn)為D．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若的面積為，求直線的方程；

（3）若，求證：四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）由題得，解方程即得的值，即得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得到韋達(dá)定理，再根據(jù)求出的值，即得直線的方程；

（3）設(shè)先求出的坐標(biāo)，得到．所以，又，所以．即得四邊形是平行四邊形．

（1）由題意知，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距，

橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)，短軸長(zhǎng)，焦距．

因?yàn)闄E圓與的離心相等，所以，即，

因?yàn)?/span>，所以，

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）因?yàn)闄E圓右焦點(diǎn)為，且A，O，B三點(diǎn)不共線，

設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，

消x得．

設(shè)，，，

所以，

即．

因?yàn)?/span>

，

化簡(jiǎn)得，所以，

所以直線的方程為，即．

（3）因?yàn)?/span>，所以．

因?yàn)?/span>，所以，

所以

因?yàn)?/span>在橢圓上，

所以，所以消，得．

代入，由對(duì)稱性不妨設(shè)，所以，

從而得，，

即．

所以，直線的方程為，

聯(lián)立，得．

由題知，所以，所以．

又，所以．

又因?yàn)?/span>不共線，所以，

又，且不共線，所以．

所以四邊形是平行四邊形．