Question

【題目】已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且滿足，，等差數(shù)列滿足，.

（Ⅰ）分別求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，將已知兩個(gè)關(guān)系式中各項(xiàng)都由等比數(shù)列通項(xiàng)公式轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)與公比，進(jìn)而求得首項(xiàng)與公比，并寫出該數(shù)列通項(xiàng)公式；在等差數(shù)列中，由等差數(shù)列性質(zhì)求得公差，進(jìn)而求得首項(xiàng)，即可寫出該數(shù)列通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）由（Ⅰ）求得數(shù)列的前項(xiàng)和，將其帶入已知不等式，進(jìn)而參變分離轉(zhuǎn)化不等式，再令，分析其數(shù)列的增減性，求得最值，即可求得答案.

（Ⅰ）設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的公比為，由題意得

，∴

又由題意得，∴，且

∴；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得數(shù)列的前項(xiàng)和，

∴對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，

令，，

當(dāng)時(shí)，，數(shù)列為遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，，數(shù)列為遞減數(shù)列，

∴，故.