【題目】多面體中,△為等邊三角形,△為等腰直角三角形,平面,平面.
(1)求證:;
(2)若,,求平面與平面所成的較小的二面角的余弦值.
【答案】(1)證明見解析;(2).
【解析】
(1)利用線面平行的性質(zhì)定理,分別證得和,即可證;
(2)分別證得兩兩垂直,建立空間直角坐標(biāo)系即可求解.
解:(1)證明:因?yàn)?/span>平面,
平面,平面平面,
所以,
同理可證,,
所以.
(2)因?yàn)椤?/span>為等腰直角三角形,,所以,,
又,,所以四邊形為平行四邊形,
所以,
因?yàn)椤?/span>為等邊三角形,所以,
取的中點(diǎn),連結(jié)、,
因?yàn)?/span>,則,
又,且,
所以四邊形為平行四邊形,
所以,
在中,,
所以,即,進(jìn)而,
同理可證,進(jìn)而,
以點(diǎn)為原點(diǎn),分別以,,所在直線為,,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,
設(shè)平面的一個法向量為,
則,令,則,,
所以,
易知平面的一個法向量為,
,
所以平面與平面所成的較小的二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】莊子說:“一尺之錘,日取其半,萬世不竭”,這句話描述的是一個數(shù)列問題,現(xiàn)用程序框圖描述,如圖所示,若輸入某個正整數(shù)n后,輸出的S∈(,),則輸入的n的值為( 。
A.7B.6C.5D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校兩個班級100名學(xué)生在一次考試中的成績的頻率分布直方圖如圖所示,其中成績分組區(qū)如下表:
組號 | 第一組 | 第二組 | 第三組 | 第四組 | 第五組 |
分組 |
(1)求頻率表分布直方圖中a的值;
(2)根據(jù)頻率表分布直方圖,估計(jì)這100名學(xué)生這次考試成績的平均分;
(3)現(xiàn)用分層抽樣的方法從第三、四、五組中隨機(jī)抽取6名學(xué)生,將該樣本看成一個總體,從中隨機(jī)抽取2名,求其中恰有1人的分?jǐn)?shù)不低于90分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著社會的發(fā)展與進(jìn)步,傳播和存儲狀態(tài)已全面進(jìn)入數(shù)字時代,以數(shù)字格式存儲,以互聯(lián)網(wǎng)為平臺進(jìn)行傳輸?shù)囊魳贰獢?shù)字音樂已然融入了我們的日常生活.雖然我國音樂相關(guān)市場仍處在起步階段,但政策利好使音樂產(chǎn)業(yè)逐漸得到資本市場更多的關(guān)注.對比如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖,下列說法正確的是( )
A.2011~2018年我國音樂產(chǎn)業(yè)投融資事件數(shù)量逐年增長
B.2013~2018年我國錄制音樂營收與音樂產(chǎn)業(yè)投融資事件數(shù)量呈正相關(guān)關(guān)系
C.2016年我國音樂產(chǎn)業(yè)投融資事件的平均營收約為1.27億美元
D.2013~2019年我國錄制音樂營收年增長率最大的是2018年
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】學(xué)生考試中答對但得不了滿分的原因多為答題不規(guī)范,具體表現(xiàn)為:解題結(jié)果正確,無明顯推理錯誤,但語言不規(guī)范、缺少必要文字說明、卷面字跡不清、得分要點(diǎn)缺失等,記此類解答為“類解答”.為評估此類解答導(dǎo)致的失分情況,某市教研室做了一項(xiàng)試驗(yàn):從某次考試的數(shù)學(xué)試卷中隨機(jī)抽取若干屬于“類解答”的題目,掃描后由近百名數(shù)學(xué)老師集體評閱,統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),滿分12分的題,閱卷老師所評分?jǐn)?shù)及各分?jǐn)?shù)所占比例大約如下表:
教師評分(滿分12分) | 11 | 10 | 9 |
各分?jǐn)?shù)所占比例 |
某次數(shù)學(xué)考試試卷評閱采用“雙評+仲裁”的方式,規(guī)則如下:兩名老師獨(dú)立評分,稱為一評和二評,當(dāng)兩者所評分?jǐn)?shù)之差的絕對值小于等于1分時,取兩者平均分為該題得分;當(dāng)兩者所評分?jǐn)?shù)之差的絕對值大于1分時,再由第三位老師評分,稱之為仲裁,取仲裁分?jǐn)?shù)和一、二評中與之接近的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分;當(dāng)一、二評分?jǐn)?shù)和仲裁分?jǐn)?shù)差值的絕對值相同時,取仲裁分?jǐn)?shù)和前兩評中較高的分?jǐn)?shù)的平均分為該題得分.(假設(shè)本次考試閱卷老師對滿分為12分的題目中的“類解答”所評分?jǐn)?shù)及比例均如上表所示,比例視為概率,且一、二評與仲裁三位老師評分互不影響).
(1)本次數(shù)學(xué)考試中甲同學(xué)某題(滿分12分)的解答屬于“類解答”,求甲同學(xué)此題得分的分布列及數(shù)學(xué)期望;
(2)本次數(shù)學(xué)考試有6個解答題,每題滿分均為12分,同學(xué)乙6個題的解答均為“類解答”,記該同學(xué)6個題中得分為的題目個數(shù)為,,,計(jì)算事件“”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,將曲線繞極點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)后得到曲線.
(Ⅰ)求曲線的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若直線:與,分別相交于異于極點(diǎn)的,兩點(diǎn),求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】國慶節(jié)來臨,某公園為了豐富廣大人民群眾的業(yè)余生活,特地以“我們都是中國人”為主題舉行猜謎語競賽.現(xiàn)有兩類謎語:一類叫事物謎,就是我們常說的謎語;另一類叫文義謎,也就是我們常說的燈謎,共8道題,其中事物謎4道題,文義謎4道題,孫同學(xué)從中任取3道題解答.
(1)求孫同學(xué)至少取到2道文義謎題的概率;
(2)如果孫同學(xué)答對每道事物謎題的概率都是,答對每道文義謎題的概率都是,且各題答對與否相互獨(dú)立,已知孫同學(xué)恰好選中2道事物謎題,1道文義謎題,用表示孫同學(xué)答對題的個數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對數(shù)是簡化繁雜運(yùn)算的產(chǎn)物.16世紀(jì)時,為了簡化數(shù)值計(jì)算,數(shù)學(xué)家希望將乘除法歸結(jié)為簡單的加減法.當(dāng)時已經(jīng)有數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)這在某些情況下是可以實(shí)現(xiàn)的.
比如,利用以下2的次冪的對應(yīng)表可以方便地算出的值.
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
16 | 32 | 64 | 128 | 256 | 512 | 1024 | 2048 | 4096 |
首先,在第二行找到16與256;然后找出它們在第一行對應(yīng)的數(shù),即4與8,并求它們的和,即12;最后在第一行中找到12,讀出其對應(yīng)的第二行中的數(shù)4096,這就是的值.
用類似的方法可以算出的值,首先,在第二行找到4096與128;然后找出它們在第一行對應(yīng)的數(shù),即12與7,并求它們的______;最后在第一行中找到______,讀出其對應(yīng)的第二行中的數(shù)______,這就是值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),(其中是自然對數(shù)的底數(shù)),,.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)設(shè)函數(shù),若對任意的恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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