Question

已知函數(shù)f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

是定義在R上的奇函數(shù)．
（1）求a的值；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性并用定義證明；
（3）若f(x)≥k2-

4

3

k對(duì)x∈[-1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，結(jié)合奇函數(shù)的性質(zhì)，可得f（0）=0，即可得

a+a-2

1+1

=0，解可得a的值；
（2）將a=1代入f（x）可得f（x）的解析式，設(shè)設(shè)x₁＜x₂，再做差變形可得f（x₁）-f（x₂）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，判斷可得f（x₁）-f（x₂）＜0，即可得證明；
（3）由（2）的結(jié)論可得，f（x）在[-1，2]上為增函數(shù)，分析可得，f（x）在[-1，2]上的最小值，結(jié)合題意可得-

1

3

≥k²-

4

3

k，解可得答案．

解答：解：（1）根據(jù)題意，函數(shù)f(x)=

a•2x+a-2

2x+1

是定義在R上的奇函數(shù)，
則有f（0）=0，即

a+a-2

1+1

=0，解可得a=1，
即a=1；
（2）由（1）得a=1，則f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
設(shè)x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=（1-

2

2x1+1

）-（1-

2

2x2+1

）=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0，
即f（x₁）-f（x₂）＜0，
則f（x）在R上為增函數(shù)．
（3）由（2）可得，f（x）在[-1，2]上為增函數(shù)，
則f（x）在[-1，2]上的最小值為f（-1）=-

1

3

，
又由f(x)≥k2-

4

3

k對(duì)x∈[-1，2]恒成立，
則-

1

3

≥k²-

4

3

k，
即3k²-4k+1≤0，解可得

1

3

≤k≤1，
故實(shí)數(shù)k的取值范圍是[

1

3

，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用，涉及函數(shù)的恒成立問題，關(guān)鍵是理解運(yùn)用單調(diào)性、奇偶性以及函數(shù)的最值之間的關(guān)系．