Question

【題目】在極坐標(biāo)系中，已知某曲線C的極坐標(biāo)方程為，直線的極坐標(biāo)方程為

（1）求該曲線C的直角坐標(biāo)系方程及離心率

（2）已知點為曲線C上的動點，求點到直線的距離的最大值。

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由知曲線C的極坐標(biāo)方程為可化為直角坐標(biāo)系方程，由于在橢圓方程中，故可求出離心率；（2）因為直線的極坐標(biāo)方程為，所以直線的直角坐標(biāo)系方程為，方法一：因為曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)），所以可設(shè)點的坐標(biāo)為，則點到直線的距離為，所以當(dāng)，即時， .方法二：設(shè)與直線平行且與曲線C相切的直線為，聯(lián)立消去整理得，令得，當(dāng)時，切點到直線的距離最大.

試題解析：解：（1）由知曲線C的極坐標(biāo)方程為可化為直角坐標(biāo)系方程即 ..3分

由于在橢圓方程中 ..4分

故離心率 ..6分

（2）因為直線的極坐標(biāo)方程為，

所以直線的直角坐標(biāo)系方程為 ..8分

法一：因為曲線C的參數(shù)方程為為參數(shù)），所以可設(shè)點的坐標(biāo)為 ..9分

則點到直線的距離為 ..11分

所以當(dāng) ..12分

即時， ..13分

法二：設(shè)與直線平行且與曲線C相切的直線為 ..8分

聯(lián)立消去整理得 ..10分

則，令得 ..11分

當(dāng)時，切點到直線的距離最大為 ..13分.