Question

【題目】已知函數(shù)，

（1）若，求函數(shù)的極值；

（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若對(duì)內(nèi)任意一個(gè)，都有 成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 的極小值是， 沒有極大值；(2)答案見解析；(3) .

【解析】試題分析：

（1）的定義域?yàn)?/span>，且，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式研究函數(shù)的極值可得的極小值是， 沒有極大值；

（2），則，分類討論可得：

①當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（3）原問(wèn)題等價(jià)于“函數(shù)在上的最小值大于零”

結(jié)合（2）的結(jié)論分類討論：①；②；③；④四種情況可得的范圍是： .

試題解析：

（1）的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)， ， ，

		3
	—	0	+
		極小

所以的極小值是， 沒有極大值；

（2），

，

①當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上，在上，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

②當(dāng)，即時(shí)，在上，

所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

（3）“對(duì)內(nèi)任意一個(gè)，都有成立”等價(jià)于

“函數(shù)在上的最小值大于零”

由（2）可知

①當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，所以，解得；

②當(dāng)，即時(shí)， 在上單調(diào)遞減，

所以的最小值為可得，

因?yàn)?/span>，所以；

③當(dāng)，即時(shí)， 在上單調(diào)遞增，

所以最小值為，由可得，所以；

④當(dāng)，即時(shí)，可得最小值為，

因?yàn)?/span>， ，所以，

故，恒成立.

綜上討論可得所求的范圍是： .