Question

【題目】定義在（0，+∞）的函數(shù)f（x）滿足如下三個(gè)條件：

①對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a、b，都有f（ab）=f（a）+f（b）-1；

②f（2）=0；

③x＞1時(shí)，總有f（x）＜1．

（1）求f（1）及的值；

（2）求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；

（3）如果存在正數(shù)k，使關(guān)于x的方程f（kx）+f（2-x）=-1有解，求正實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）f（1）=1；f（）=2；（2）詳見(jiàn)解析；（3）[8，+∞）.

【解析】

（1）令a＝b＝1，a＝2，b，即可求得f（1）及的值；

（2）當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜1，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義討論函數(shù)的單調(diào)性；

（3）把f（kx）+f（2﹣x）根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為f[kx（2﹣x）]﹣1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性把函數(shù)值轉(zhuǎn)化為自變量x的方程，分離參數(shù)轉(zhuǎn)化我求函數(shù)的值域即可得到所求范圍．

解：（1）令a=b=1得f（1）=2f（1）-1，

即有f（1）=1；

令a=2，b=，可得f（1）=f（2）+f（）-1=f（）-1=1，

即有f（）=2；

（2）證明：設(shè)0＜x1＜x2，可得＞1，

可得f（）＜1，

由f（x2）=f（x1）=f（x1）+f（）-1＜f（x1），

可得函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；

（3）由f（4）=2f（2）-1=-1，

f（8）=f（2）+f（4）-1=-2，

可得關(guān)于x的方程f（kx）+f（2-x）=-1即為f（kx（2-x））=-2=f（8），

函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，

可得kx（2-x）=8在0＜x＜2有解，

即有k=，

由0＜x＜2可得x（2-x）∈（0，1]，

則k的范圍是[8，+∞）．