Question

如圖，在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足．設(shè)為線段的中點(diǎn)．

（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若圓在點(diǎn)處的切線與軸交于點(diǎn)，試判斷直線與軌跡的位置關(guān)系．

 

 

Answer 1

（1）;（2）相切

【解析】

試題分析：（1）由于點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng), 為線段的中點(diǎn),根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,以及點(diǎn)P在圓上,即可得到結(jié)論.

（2）由（1）得到軌跡的方程為橢圓方程.切線PE的斜率有兩種情況：斜率不存在則可得直線與軌跡的位置關(guān)系為相切.直線斜率存在則假設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo),寫出切線方程,以及點(diǎn)N的坐標(biāo),再寫出直線MN的方程.聯(lián)立橢圓方程,根據(jù)判別式的值即可得到結(jié)論.

（1）設(shè)，則．點(diǎn)在圓上，，

即點(diǎn)的軌跡的方程為． 4分

（2）解法一：

（i） 當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為或．顯然與軌跡相切；

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，

因?yàn)橹本�與圓相切，所以，即． 7分

又直線的斜率等于，點(diǎn)的坐標(biāo)為．

所以直線的方程為，即. 9分

由得．

．故直線與軌跡相切．

綜上（i）（2）知，直線與軌跡相切. 13分

解法二 ：設(shè)（），則． 5分

（i）當(dāng)時(shí)，直線的方程為或，此時(shí)，直線與軌跡相切；

（2）當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即．

令，則．，又點(diǎn)，

所以直線的方程為，即． 9分

由得即．

．所以，直線與軌跡相切．

綜上（i）（2）知，直線與軌跡相切． 13分

考點(diǎn)：1.待定系數(shù)法求橢圓的方程.2.直線與圓的位置關(guān)系.3.直線與橢圓的位置關(guān)系.