Question

如圖,在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,側(cè)面AA₁B₁B⊥底面ABC,側(cè)棱AA₁與底面ABC成60°的 角,AA₁=2.底面ABC是邊長為2的正三角形,其重心為G點(diǎn),E是線段BC₁上一點(diǎn),且BE=3(1)BC₁.

(1)求證:GE∥側(cè)面AA₁B₁B;
(2)求平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的正切值;
(3)求點(diǎn)B到平面B₁GE的距離.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）

解析試題分析：（1）證明直線和平面平行的方法一般有兩種，其一是利用線面平行的判定定理，在平面內(nèi)找一條直線和平面外的直線平行，其二是利用面面平行的性質(zhì)定理，先證明面面平行，其次說明線和面平行，延長交于點(diǎn)，則是中點(diǎn)，所以三點(diǎn)共線，根據(jù)線段成比例，可證明∥，從而可證明GE∥側(cè)面AA₁B₁B；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6f/4/1ugtv4.png" style="vertical-align:middle;" />軸，建立坐標(biāo)系，再求半平面的法向量，再求其夾角，進(jìn)而可得二面角的余弦值，再轉(zhuǎn)換為正切值；（3）點(diǎn)到面的距離是點(diǎn)到平面垂線段的長度，如果垂足不好確定，可考慮等體積轉(zhuǎn)換，點(diǎn)到面的距離就是點(diǎn)到面的距離，設(shè)為，利用，可求.
試題解析：(1)延長B₁E交BC于點(diǎn)F,∽△FEB,BE=EC₁,∴BF=B₁C₁=BC, 從而點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)，∵G為△ABC的重心,∴A、G、F三點(diǎn)共線.且, 又GE側(cè)面AA₁B₁B,∴GE//側(cè)面AA₁B₁B；
（2）取中點(diǎn)，則面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/6f/4/1ugtv4.png" style="vertical-align:middle;" />軸，建立坐標(biāo)系，則,,,,
,. ∵G為△ABC的重心,
∴.,∴, 設(shè)平面B₁GE的法向量為,則由得可取又底面ABC的一個法向量為， 設(shè)平面B₁GE與底面ABC所成銳二面角的大小為,則，由于為銳角,所以,進(jìn)而， 故平面B₁GE與底面ABC成銳二面角的正切值為；   
（3）由題意點(diǎn)到面的距離就是點(diǎn)到面的距離，設(shè)為，易求得
,,又，∴，，
考點(diǎn)：1、直線和平面平行的判定；2、二面角的求法；3、點(diǎn)到面的距離.