如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，側面PAD⊥底面ABCD，若PA＝AB＝BC＝，AD＝1.

（I）求證：CD⊥平面PAC；
（II）求二面角A－PD－C的余弦值.

（I）見解析；（II）.

解析試題分析：（I）先根據(jù)已知條件證明，那么就有，在根據(jù)題中已知邊的長度，由勾股定理證明，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理即可證明；（II）設為中點，連結，過作于，證明是二面角的平面角.再由，解得和的值，求的余弦值即可.
試題解析：（I）∵，∴.
又∵，，且，
∴. 
又，∴.                             3分
在底面中，∵，，
∴，有，∴.
又∵， ∴.                     6分
（II）設為中點，連結，則.

又∵，，
，∴.
∵，∴.
過作于，
∵，∴，
∴，∴是二面角的平面角.          9分
由已知得，， ∴.
由得，，∴，
∴，
∴.
即二面角的余弦值為.                           12分
考點：1、直線與平面垂直的判定定理；2、勾股定理的應用；3、構造二面角；4、平面與平面垂直的性質定理；5、解三角形.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，棱柱的側面是菱形，

（Ⅰ）證明：平面平面；
（Ⅱ）設是上的點，且平面，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（如圖1）在平面四邊形中，為中點，，，且，現(xiàn)沿折起使，得到立體圖形（如圖2），又B為平面ADC內一點，并且ABCD為正方形，設F，G，H分別為PB，EB，PC的中點.

（1）求三棱錐的體積；
（2）在線段PC上是否存在一點M，使直線與直線所成角為？若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1B1B⊥底面ABC,側棱AA1與底面ABC成60°的 角,AA1=2.底面ABC是邊長為2的正三角形,其重心為G點,E是線段BC1上一點,且BE=3(1)BC1.

(1)求證:GE∥側面AA1B1B;
(2)求平面B1GE與底面ABC所成銳二面角的正切值;
(3)求點B到平面B1GE的距離.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE．

(1) 證明：BD⊥平面PAC；
(2) 若AD＝2，當PC與平面ABCD所成角的正切值為時，求四棱錐P－ABCD的外接球表面積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

(1)如圖,ABC在平面外,AB∩=P,BC∩=Q,AC∩=R,求證:P,Q,R三點共線.

(2)如圖,空間四邊形ABCD中,E,F分別是AB和CB上的點,G,H分別是CD和AD上的點,  且EH與FG相交于點K. 求證:EH,BD,FG三條直線相交于同一點.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖棱柱的側面是菱形，，D是的中點，證明：

（Ⅰ）∥面
（Ⅱ）平面平面.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

正方形與梯形所在平面互相垂直，，，點在線段上且不與重合。

（Ⅰ）當點M是EC中點時，求證：BM//平面ADEF；
（Ⅱ）當平面BDM與平面ABF所成銳二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在六面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，ED⊥DG，EF∥DG.且AB＝AD＝DE＝DG＝2，AC＝EF＝1.  (1)求證：BF∥平面ACGD； (2)求二面角D­CG­F的余弦值．

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