Question

已知橢圓C：，過點（-，）離心率e=．
（1）求橢圓方程；
（2）若過點（1，0）的直線l與橢圓C交于E，F(xiàn)兩點，且以EF為直徑的圓過原點，試求直線l方程；
（3）過點A（3，0）作直線與橢圓交于B，C兩點且x_B+x_C=2，若直線L：y=kx+m是直線BC垂直平分線，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用條件建立方程，求解a，b．
（2）設(shè)出直線方程，利用EF為直徑的圓過原點，確定直線的斜率．
（3）出直線方程，利用x_B+x_C=2和y=kx+m是直線BC垂直平分線，確定m的取值范圍．
解答：解：（1）因為橢圓過點（-，），所以，…（1分）
又離心率，…（3分）
解得a=2，b=1，所以橢圓方程：…（4分）
（2）由題義得OE⊥OF，…（5分）
L：y=k（x-1），
代入得：（1+4k²）x²-8k²x+4（k²-1）=0  ①…（6分）
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），則x₁x₂+y₁y₂=0，
即  ②
由①得，
代入②得：，即k²-4=0，解得k=±2，所以l：y=2x-2或y=-2x+2…（8分）
（3）設(shè)BC的中點D（x，y），B（x_B，y_B）、C（x_C，y_C ），
則x_B+x_C=2x=2，所以  x=1，y_B+y_C=2y…（9分）
又，
兩式相減得，即…（10分）
即，l：y=4y+m
當(dāng)x=1時，y=4y+m，即 ，
D（1，）在橢圓內(nèi)   …（12分）
得…（14分）
點評：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用直線和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決直線與圓錐曲線問題中常用的方法，運算量較大，綜合性較強(qiáng)．