Question

已知橢圓C：，過(guò)點(diǎn)P（4，0）且不與坐標(biāo)軸垂直的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A₁
（1）求證：直線A₁B過(guò)x軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求△OA₁B面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)直線方程為l：x=my+4，與，聯(lián)立并消去x得：（3m²+4）y²+24my+36=0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有，，由A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A₁，得A₁（x₁，-y₁），由此能證明直線A₁B過(guò)x軸上一定點(diǎn)，并能求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．
（II）由（3m²+4）y²+24my+36=0中，判別式△＞0，解得m＞2或m＜-2，而直線A₁B過(guò)定點(diǎn)Q（1，0），由此能求出△OA₁B面積的取值范圍．
解答：解：（I）設(shè)直線方程為l：x=my+4，
與聯(lián)立并消去x得：（3m²+4）y²+24my+36=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則有，，
由A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為A₁，
得A₁（x₁，-y₁），
根據(jù)題意設(shè)直線A₁B與x軸相交于點(diǎn)Q（t，0），
得，
即，
整理得，，
代入得t=1，
則定點(diǎn)為Q（1，0）
（II）設(shè)直線方程為l：x=my+4，
與聯(lián)立并消去x得：（3m²+4）y²+24my+36=0，
△=（24m）²-4×36×（3m²+4）＞0，
解得m＞2或m＜-2，
而直線A₁B過(guò)定點(diǎn)Q（1，0）
所以=•-y_B|

=
=，
記t=|m|，，
∴f（t）在（2，+∞）上是單調(diào)遞減函數(shù)，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．