Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₃=3且S₅-2a₁=17．等比數(shù)列{b_n}中，b₁=a₂，b₂S₃=6．
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）設(shè)c_n=a_n+1b_n，設(shè)T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，求T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和條件求出S₅的值，代入條件中的式子求出首項(xiàng)和公差，再代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n化簡(jiǎn)，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和條件求出公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出b_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和條件求出c_n的代數(shù)式，利用錯(cuò)位相減法求出T_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵等差數(shù)列{a_n}中的a₃=3，
∴S₅=

5(a1+a5)

2

=5a₃=15，
代入S₅-2a₁=17得，a₁=-1，由a₃=3得，公差d=2，
則a_n=-1+2（n-1）=2n-3，
∵b₁=a₂，b₂S₃=6，
∴b₁=1，且3b₂=6，得b₂=2，即公比q=2，
則b_n=2^n-1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，c_n=a_n+1b_n=（2n-1）•2^n-1，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=1+3×2+5×2²+…+（2n-1）2^n-1，①
則2T_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-3）2^n-1+（2n-1）2ⁿ，②
①-②得，-T_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）2ⁿ
=1+2×

2(1-2n-1)

1-2

）-（2n-1）2ⁿ=（3-2n）2ⁿ-3，
∴T_n=（2n-3）2ⁿ+3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，關(guān)鍵是判斷出數(shù)列的通項(xiàng)公式的特點(diǎn)，再利用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和，這是高考常考的題型．