Question

函數(shù)f（x）是R上的偶函數(shù)，且當x＞0時，函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=

2

x

-1，若x∈（0，6]時，f（x）≥ax恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：將不等式轉(zhuǎn)化為a≤

f(x)

x

在x∈（0，6]時恒成立，利用導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)的最小值即可得到結(jié)論．

解答： 解：不等式f（x）≥ax恒成立，等價為a≤

f(x)

x

在x∈（0，6]時恒成立．
設(shè)g（x）=

f(x)

x

則g（x）=

2 x -1

x

=

2

x2

-

1

x

，
則g′(x)=-

4

x3

+

1

x2

=

x-4

x3

，
則當x＞4時，g'（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，
當0＜x＜4時，g′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，
∴當x=4時，g（x）取得極小值，同時也是最小值，
∴g_max（4）=

2

16

-

1

4

=

1

8

-

1

4

=-

1

8

，
∴a≤-

1

8

，
即a的取值范圍是a≤-

1

8

．

點評：本題主要考查不等式恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強，運算量較大．