Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+x-xlnx（a＞0）．
（1）已知直線y=x+1與g（x）=f′（x）相切，求a的值；
（2）若函數(shù)滿足f（1）=2，且在定義域內f（x）＞bx²+2x恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（3）若函數(shù)f（x）在定義域上是單調函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：函數(shù)的性質及應用,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），故g（x）=2ax-lnx，（x＞0），g′(x)=2a-

1

x

，設切點為（t，g（t）），由斜率k=g′（t）=2a-

1

t

=1，及g（t）=t+1，
聯(lián)立方程可解得a．
（2）依題意x²+x-xlnx）≥bx²+2x恒成立?1-

1

x

-

lnx

x

≥b，構造函數(shù)g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，利用導數(shù)可求得g（x）_min，從而可求得實數(shù)b的取值范圍；
（3）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），令f′（x）≥0可求得a的范圍，對a的范圍分情況討論可由f（x）在定義域上是單調函數(shù)，求得實數(shù)a的取值范圍；

解答： 解：（1）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），故g（x）=2ax-lnx，（x＞0），
g′(x)=2a-

1

x

，設切點為（t，g（t）），∴斜率k=g′（t）=2a-

1

t

=1，∵g（t）=t+1，∴2at-lnt=t+1，∴

2a- 1 t =1 2at-lnt=t+1

，
解得t=1，a=1．
（2）由f（1）=2，得a=1，又x＞0，
∴x²+x-xlnx）≥bx²+2x恒成立?1-

1

x

-

lnx

x

≥b，
令g（x）=1-

1

x

-

lnx

x

，∴g′(x)=

lnx

x2

，可得g（x）在（0，1]上遞減，
在[1，+∞）上遞增，所以g（x）_min=g（1）=0，
即b≤0．
（3）f′（x）=2ax-lnx，（x＞0），
令f′（x）≥0得：2a≥

lnx

x

，設h（x）=

lnx

x

，∴h′(x)=

1-lnx

x2

，
當x=e時，h（x）_max=

1

e

，
∴當a≥

1

2e

時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調遞增，
若0＜a＜

1

2e

，g（x）=2ax-lnx，（x＞0），g′（x）=2a-

1

x

，
g′（x）=0，x=

1

2a

，x∈（0，

1

2a

），g′（x）＜0，x∈（

1

2a

，+∞），g′（x）＞0，
∴x=

1

2a

時取得極小值，即最小值．
而當0＜a＜

1

2e

時，g（

1

2a

）=1-ln

1

2a

＜0，
f′（x）=0必有根，f（x）必有極值，在定義域上不單調，
∴a≥

1

2e

．

點評：此題考查函數(shù)單調性與導數(shù)的關系的應用，考查學生會利用導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調區(qū)間，掌握函數(shù)恒成立時所取的條件，是一道綜合題．