Question

如圖四邊形EFGH為空間四面體A-BCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形．
（1）求證：AB∥平面EFGH，CD∥平面EFGH；
（2）若AB=4，CD=6，求四邊形EFGH周長的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出EF∥HG，從而得到EF∥平面ABD，進(jìn)而得到EF∥AB，由此能證明AB∥平面EFGH，同理CD平面EFGH．
（2）由空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四邊形．

CF

CB

=

CE

CA

=

EF

AB

=k，則0＜k＜1，且

AE

AC

=

EH

CD

=1-k，四邊形EFGH的周長=12-4k，即可得出結(jié)論．

解答： （1）證明：∵四邊形EFGH為平行四邊形，∴EF∥HG．
∵HG?平面ABD，EF不在平面ABC內(nèi)，
∴EF∥平面ABD．…
∵EF?平面ABD，平面ABD∩平面ABC=AB，
∴EF∥AB．
∵EF?平面EFGH，AB不包含于平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH，
同理CD平面EFGH．
（2）解：∵空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四邊形．

CF

CB

=

CE

CA

=

EF

AB

=k，則0＜k＜1，且

AE

AC

=

EH

CD

=1-k，
∴四邊形EFGH的周長=12-4k，∴8＜四邊形EFGH的周長＜12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面平行的證明，考查四邊形的周長求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間相象力的培養(yǎng)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．