【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,其中, 為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),討論的單調(diào)性;
(2)若關(guān)于的方程在上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】試題分析:⑴先求出,然后求導(dǎo),分類、、時(shí)三種情況討論得出結(jié)果(2)構(gòu)造,求導(dǎo),分類討論、、時(shí)零點(diǎn)情況
解析:(1)∵,∴;
由于
∴當(dāng)時(shí), ,此時(shí)在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí), ,此時(shí)在上單調(diào)遞減;
當(dāng)時(shí), , ,此時(shí)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增
(2)依題意,即有零點(diǎn),
∵; , ,
由(1)知,當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞增, , ;
∴存在使得,且當(dāng)時(shí),故遞減,當(dāng)
時(shí),故遞增;∴,無零點(diǎn);
當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞減, , ,∴存在使得
,且當(dāng)時(shí),故遞增,當(dāng)時(shí)
,故遞減;∴,無零點(diǎn);
當(dāng)時(shí), 在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增;
∴有零點(diǎn) ,
令,則,
∴,
則,∴此時(shí),綜上:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)試判斷1是的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn),并說明理由;
(Ⅱ)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求證: .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知, 分別為雙曲線: 的左、右焦點(diǎn),過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于, 兩點(diǎn),若,則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩人在相同條件下各射靶10次,每次射靶的成績情況如圖所示:
(Ⅰ)請?zhí)顚懴卤恚▽懗鲇?jì)算過程):
(Ⅱ)從下列三個(gè)不同的角度對這次測試結(jié)果進(jìn)行分析;
①從平均數(shù)和方差相結(jié)合看(分析誰的成績更穩(wěn)定);
②從平均數(shù)和命中9環(huán)及9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看(分析誰的成績好些);
③從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)的走勢看(分析誰更有潛力)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓C: ,定義橢圓C的“相關(guān)圓”方程為,若拋物線的焦點(diǎn)與橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)重合,且橢圓C短軸的一個(gè)端點(diǎn)和其兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成直角三角形。
(I)求橢圓C的方程和“相關(guān)圓”E的方程;
(II)過“相關(guān)圓”E上任意一點(diǎn)P作“相關(guān)圓”E的切線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn)。
(i)證明∠AOB為定值;
(ii)連接PO并延長交“相關(guān)圓”E于點(diǎn)Q,求△ABQ面積的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,且對任意的有. 當(dāng)時(shí),,.
(1)求并證明的奇偶性;
(2)判斷的單調(diào)性并證明;
(3)求;若對任意恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是一個(gè)半圓柱與多面體構(gòu)成的幾何體,平面與半圓柱的下底面共面,且, 為弧上(不與重合)的動(dòng)點(diǎn).
(1)證明: 平面;
(2)若四邊形為正方形,且, ,求二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,從一個(gè)面積為的半圓形鐵皮上截取兩個(gè)高度均為的矩形,并將截得的兩塊矩形鐵皮分別以,為母線卷成兩個(gè)高均為的圓柱(無底面,連接部分材料損失忽略不計(jì)).記這兩個(gè)圓柱的體積之和為.
(1)將表示成的函數(shù)關(guān)系式,并寫出的取值范圍;
(2)求兩個(gè)圓柱體積之和的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD為矩形,DP⊥平面PBC,E,F(xiàn)分別為PA與BC的中點(diǎn).
(1)求證:BC⊥平面PDC;
(2)求證:EF//平面PDC.
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