Question

【題目】已知函數(shù)的定義域為，且對任意的有. 當(dāng)時，，.

（1）求并證明的奇偶性；

（2）判斷的單調(diào)性并證明；

（3）求；若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）0,證明見解析，為奇函數(shù)；（2）單調(diào)遞增，證明見解析；（3）.

【解析】

（1）令x＝y＝0，求解f（0）＝0．根據(jù)判奇偶即可.

（2）f（x）在R上是增函數(shù)，任取x1，x2∈R，且x1>x2，則x1﹣x2＞0，可證得，即有f（x1）>f（x2），得到結(jié)果；

（3）通過f（3）＝f（2）+f（1）求解即可．由f（4x﹣a）+f（6+2x+1）＞6轉(zhuǎn)化為f（4x﹣a+6+2x+1）＞f（3）恒成立．利用函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化求解即可．

（1），∴，

又因為的定義域為R關(guān)于原點(diǎn)對稱

，∴，

所以為奇函數(shù).

（2）則

，

因為，

所以，單調(diào)遞增.

（3）∵，

若，

∴f（），由（2）知單調(diào)遞增，

∴，

所以，

∴.