Question

【題目】如圖，是一個半圓柱與多面體構(gòu)成的幾何體，平面與半圓柱的下底面共面，且， 為弧上（不與重合）的動點.

（1）證明： 平面；

（2）若四邊形為正方形，且， ，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（1）由平面，可得，由是上底面對應(yīng)圓的直徑，可得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面；（2）以為坐標(biāo)原點，以 為軸，過作與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量垂直數(shù)量積為零，列方程組分別求出平面與平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得面角的余弦值.

試題解析：（1）在半圓柱中， 平面，所以.

因為是上底面對應(yīng)圓的直徑，所以.

因為， 平面， ，所以平面.

（2）以為坐標(biāo)原點，以 為軸，過作與平面 垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示，

設(shè)，則， ， ， ， .

所以， .

平面的一個法向量.

設(shè)平面的一個法向量，則，令，則，

所以可取，所以.

由圖可知二面角為鈍角，所以所求二面角的余弦值為.

【方法點晴】本題主要考查線面垂直的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.