【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)試判斷1是的極大值點還是極小值點,并說明理由;
(Ⅱ)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),求證: .
【答案】(Ⅰ)答案見解析;(Ⅱ)證明見解析.
【解析】試題分析:
(Ⅰ)求出函數(shù)定義域,求出,判斷在1的兩側(cè)的正負(fù),可得極值是極大還是極小值;
(Ⅱ)由(Ⅰ),求出導(dǎo)函數(shù),為了確定的最小值,需要確定的單調(diào)性,以確定的正負(fù),因此又要對求導(dǎo),確定出在單調(diào)遞增, 有唯一零點,且,這是的極小值點,
,現(xiàn)在要證這個極小值大于-1,設(shè),再一次利用導(dǎo)數(shù)的知識證明在是單調(diào)減函數(shù),從而.
試題解析:
(Ⅰ)的定義域為,
因為 ,所以.
當(dāng)時, , ,所以,故在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時, , ,所以,故在上單調(diào)遞減;
所以1是函數(shù)的極小值.
(Ⅱ)由題意可知, ,
, ,令, ,
則,故在上單調(diào)遞增.
又, ,
所以,使得,即,所以,
, 隨的變化情況如下:
所以,
由式得,代入上式得
,
令, ,則,
故在上單調(diào)遞減,所以,
又,所以,即,所以.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)是奇函數(shù).
(1)求實數(shù)的值;
(2)若,對任意有恒成立,求實數(shù)取值范圍;
(3)設(shè),若,問是否存在實數(shù)使函數(shù)在上的最大值為?若存在,求出的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】AB為過拋物線焦點F的弦,P為AB中點,A、B、P在準(zhǔn)線l上射影分別為M、N、Q,則下列命題: 以AB為直徑作圓,則此圓與準(zhǔn)線l相交;;;;、O、N三點共線為原點,正確的是______ .
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知曲線的參數(shù)方程為(, 為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點, 軸的正半軸為極軸,取相同的長度單位建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.
(1)當(dāng)時,求曲線上的點到直線的距離的最大值;
(2)若曲線上的所有點都在直線的下方,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知命題p:k2﹣8k﹣20≤0,命題q:方程1表示焦點在x軸上的雙曲線.
(1)命題q為真命題,求實數(shù)k的取值范圍;
(2)若命題“p∨q”為真,命題“p∧q”為假,求實數(shù)k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知動點P到定點的距離比它到直線的距離小2,設(shè)動點P的軌跡為曲線C.
求曲線C的方程;
若直線與曲線C和圓從左至右的交點依次為A,B,C,D求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,橢圓: 的焦距與橢圓: 的短軸長相等,且與的長軸長相等,這兩個橢圓在第一象限的交點為,直線經(jīng)過在軸正半軸上的頂點且與直線(為坐標(biāo)原點)垂直, 與的另一個交點為, 與交于, 兩點.
(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)求.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】質(zhì)檢部門對某工廠甲、乙兩個車間生產(chǎn)的12個零件質(zhì)量進(jìn)行檢測.甲、乙兩個車間的零件質(zhì)量(單位:克)分布的莖葉圖如圖所示.零件質(zhì)量不超過20克的為合格.
(1)從甲、乙兩車間分別隨機(jī)抽取2個零件,求甲車間至少一個零件合格且乙車間至少一個零件合格的概率;
(2)質(zhì)檢部門從甲車間8個零件中隨機(jī)抽取4件進(jìn)行檢測,若至少2件合格,檢測即可通過,若至少3 件合格,檢測即為良好,求甲車間在這次檢測通過的條件下,獲得檢測良好的概率;
(3)若從甲、乙兩車間12個零件中隨機(jī)抽取2個零件,用表示乙車間的零件個數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的定義域為,其中, 為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),討論的單調(diào)性;
(2)若關(guān)于的方程在上有解,求實數(shù)的取值范圍.
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