Question

過點(diǎn)P（1，2）的直線l分別與x軸，y軸的正半軸交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積最小時(shí)，A、B兩點(diǎn)恰好是曲線R：

x

m

+

y2

n

=1（m＞0，n＞0）的頂點(diǎn)．
（1）求曲線R的方程；
（2）過點(diǎn)P的直線交曲線R于C、D（異于A、B）兩點(diǎn)，求四邊形ACBD面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可設(shè)直線l的方程為，

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），由于直線l過點(diǎn)（1，2），代入直線方程，利用基本不等式即可得出ab的最小值，取得最小值時(shí)a，b，即可得到A，B的坐標(biāo)，進(jìn)而得到曲線R的方程；
（2）討論直線CD的斜率不存在和存在兩種情況，求出CD的弦長(zhǎng)，再由面積公式，比較，即可得到最小值．

解答： 解：由題意可設(shè)直線l的方程為

x

a

+

y

b

=1（a＞0，b＞0），
∵直線l過點(diǎn)（1，2），
∴

1

a

+

2

b

=1．
∴1=

1

a

+

2

b

≥2

2 ab

，∴ab≥8，當(dāng)且僅當(dāng)

1

a

=

2

b

，即a=2，b=4是取等號(hào)．
此時(shí)△AOB的面積取得最小值

1

2

ab=4，
直線l的方程為

x

2

+

y

4

=1．
此時(shí)A（2，0），B（0，4），
由于A、B兩點(diǎn)恰好是曲線R：

x

m

+

y2

n

=1（m＞0，n＞0）的頂點(diǎn)，
即有m=2，n=16，即有曲線R的方程為：

x

2

+

y2

16

=1；
（2）當(dāng)直線CD的斜率不存在時(shí)，即方程x=1，代入曲線方程，解得，y=±2

2

，
即有CD=4

2

，A，B到直線CD的距離為1，四邊形ACBD面積為

1

2

×2×4

2

=4

2

；
當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)直線CD：y-2=k（x-1），即y=kx+2-k，
代入曲線方程，可得，k²x²+[2k（2-k）+8]x+（2-k）²-16=0，
由于有兩個(gè)交點(diǎn)，則判別式△=[2k（2-k）+8]²-4k²[（2-k）²-16]＞0，解得，k≠0，
且x₁+x₂=-

2k(2-k)+8

k2

，x₁x₂=

(2-k)2-16

k2

，
則四邊形ACBD的面積為

1

2

×2×

|k+2|

1+k2

×

1+k2

×

( 2k(2-k)+8 -k2 )2- 4(2-k)2-64 k2

=4

2

|k+2|•

k2+2k+2

k2

＞4

2

，
則有四邊形ACBD面積的最小值為4

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線方程的點(diǎn)斜式和截距式的運(yùn)用，基本不等式的運(yùn)用：求最值，考查四邊形的面積的求法，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．