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已知x、y為非零的實數，求
x2+4xy
x2+2y2
的最大值．
考點：基本不等式
專題：函數的性質及應用
分析：設
x2+4xy
x2+2y2
≤a，構造x2+4xy≤ax2+2ay2恒成立的問題，巧用換元法，轉化為2at2-4t+a-1≤0恒成立，進行分類討論，求出a的取值范圍，問題得以解決
解答： 解：設
x2+4xy
x2+2y2
≤a，
∴x2+4xy≤ax2+2ay2恒成立
即2ay2-4xy+（a-1）x2≥0，
∵x、y為非零的實數，兩邊同除以x2得，
∴2a(
y
x
)2-4•(
y
x
)+（a-1）≥0恒成立，
設t=
y
x
，t≠0，
∴原不等式即2at2-4t+a-1≥0恒成立，
當a=0時，即-4t-1≤0不能恒成立，
當a＞0時，
設f（t）=2at2-4t+a-1為開口朝上的拋物線，
∴f（t）≤0不可能恒成立
當a＜0時，f（t）=2at2-4t+a-1為開口朝下的拋物線，
若f（t）≤0恒成立需△=16-8a（a-1）≤0
即a2-a-2≥0
解得a≥2或a≤-1，
∵a＜0，
∴a≤-1
綜上，實數a的最大值為-1，
故
x2+4xy
x2+2y2
的最大值為-1
點評：本題考查了最值問題，以及函數恒成立的問題培養(yǎng)了學生的轉化能力，知識的運用能力，分類討論的能力，屬于難題
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知直線過點P（0，2），且在x軸上的截距是2，則直線的傾斜角是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知集合M={y|y=x2-1（x∈R）}，P={x|y=
3-x2
，x∈R}，則M∩P=（　�。�
A、{（-
2
，1），（
2
，1）}
B、{t|1≤t≤
3
}
C、{t|-1≤t≤
3
}
D、{t|0≤t≤
3
}

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科目：高中數學 來源： 題型：

過點P（1，2）的直線l分別與x軸，y軸的正半軸交于A，B兩點，當△AOB（0為坐標原點）的面積最小時，A、B兩點恰好是曲線R：
x
m
+
y2
n
=1（m＞0，n＞0）的頂點．
（1）求曲線R的方程；
（2）過點P的直線交曲線R于C、D（異于A、B）兩點，求四邊形ACBD面積的最小值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（1）已知矩陣M=
12
2x
的一個特征值為3，求另一個特征值及其對應的一個特征向量．
（2）如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC的平分線AD交⊙O于點D，DE⊥AC，交AC的延長線于點E．OE交AD于點F．
①求證：DE是⊙O的切線；②若
AC
AB
=
3
5
，求
AF
DF
的值．
（3）在極坐標系中，圓C的方程為ρ=2
2
sin（θ+
π
4
），以極點為坐標原點，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線l的參數方程為
x=t
y=1+2t
（t為參數），判斷直線l和圓C的位置關系．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知直線x=2與橢圓C：
x2
16
+
y2
4
=1交于兩點E1，E2，任取橢圓C上的點P，若
OP
=a
OE1
+b
OE2
（a，b∈R），則ab的最大值是
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知O為坐標原點，設A（x1，y1），B（x2，y2）是橢圓
x2
m
+
y2
4
=1（m＞4）上任意兩點，已知向量
p
=（
x1
m
，
y1
2
），
q
=（
x2
m
，
y2
2
），若
p
•
q
的夾角為
π
2
且橢圓的離心率e=
3
2
．
（1）若直線AB過橢圓的焦點F（c，0）（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；
（2）△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

直線y=x-1被橢圓
x2
4
+y2=1截得的弦長為
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知a＞0，b＞0，且a≠b，比較
a2
b
+
b2
a
與a+b的大小．

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