Question

設(shè)f（x）=|x-3|+|x-4|．
（Ⅰ）求函數(shù)g（x）=

2-f(x)

的定義域；
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)，滿足f（x）≤mx+1．試求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法,函數(shù)的定義域及其求法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）的解析式，可得f（x）≤2，即|x-3|+|x-4|≤2，再根據(jù)絕對(duì)值的意義求得不等式的解集．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=mx+1，如圖紅線所示，f（x）的圖象如圖藍(lán)線所示，由題意可得，故紅線必有一部分位于藍(lán)線的上方，故有m≥0，或 m＜-2，從而得到m的范圍．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=|x-3|+|x-4|=

2x-7  ，x＞4 1  ，3＜x≤4 7-2x ，x≤3

，對(duì)于函數(shù)g（x）=

2-f(x)

，2-f（x）≥0，
即f（x）≤2，|x-3|+|x-4|≤2．
根據(jù)絕對(duì)值的意義，|x-3|+|x-4|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到3、4對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而

5

2

 和

9

2

對(duì)應(yīng)點(diǎn)到3、4對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于2，故|x-3|+|x-4|≤2的解集為[

5

2

，

9

2

]．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=mx+1，如圖紅線所示，f（x）的圖象如圖藍(lán)線所示，
∵存在實(shí)數(shù)，滿足f（x）≤mx+1，故紅線必有一部分位于藍(lán)線的上方，
故有m≥0，或 m＜-2，故m的范圍為（[0，+∞）∪（-∞，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查帶由絕對(duì)值的函數(shù)，絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．