Question

【題目】如果直線與橢圓只有一個交點，稱該直線為橢圓的“切線”.已知橢圓，點是橢圓上的任意一點，直線過點且是橢圓的“切線”.

（1）證明：過橢圓上的點的“切線”方程是；

（2）設，是橢圓長軸上的兩個端點，點不在坐標軸上，直線，分別交軸于點，，過的橢圓的“切線”交軸于點，證明：點是線段的中點；

（3）點不在軸上，記橢圓的兩個焦點分別為和，判斷過的橢圓的“切線”與直線，所成夾角是否相等？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）聯立直線和橢圓方程，由，得直線是橢圓的切線；（2），得. ，得，過點的切線為，得，證得點是線段的中點；（3）的方向向量，，，記與的夾角，與的夾角，，，所以，有，從而有與直線，所成的夾角相等.

試題解析：

（1）由點在橢圓上，有， 在直線上

當時，由，得，直線方程為，代入橢圓方程得，得一個交點，直線是橢圓切線.

當時，有，直線為代入橢圓方程得，有，直線是橢圓切線.

另解：不討論將橢圓方程化為，將直線方程代入消，得到的一元二次方程，然后證明

（2）點不在坐標軸上，，得. ，得

過點的切線為，得.由，得，從而有，點是線段的中點.

（3）,,的方向向量，.，，，，記與的夾角，與的夾角.

，

，

所以，有，從而有與直線，所成的夾角相等.