Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a，b，c，d∈R，a＞0）其中，f（0）=3，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（Ⅰ）若f′（-1）=f′（3）=-36，f′（5）=0，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若c=-6，函數(shù)f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂滿足-1＜x₁＜1＜x₂＜2．設(shè)λ=a²+b²-6a+2b+10，試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）由于f（0）=3，則d=3，
而f'（x）=3ax²+2bx+c…（1分）
由f′（-1）=f′（3）=-36，f′（5）=0知

3a-2b+c=-36 27a+6b+c=-36 75a+10b+c=0

　　…．（2分）
解得

a=1 b=-3 c=-45

　…（4分）
故f（x）=x³-3x²-45x+3即為所求．…（5分）
（Ⅱ）據(jù)題意，函數(shù)f（x）=ax³+bx²-6x+3，則f′（x）=3ax²+2bx-6
又x₁，x₂是方程f^′（x）=0的兩根，且-1＜x₁＜1＜x₂＜2，a＞0．
則

f′(-1)＞0 f′(1)＜0 f′(2)＞0 a＞0

即

3a-2b-6＞0 3a+2b-6＜0 6a+2b-3＞0 a＞0

…（7分）
則點(diǎn)（a，b）的可行區(qū)域如圖…（10分）
由于λ=a²+b²-6a+2b+10=（a-3）²+（b+1）²，
則λ的幾何意義為點(diǎn)P（a，b）與點(diǎn)A（3，-1）的距離的平方．…．…．（11分）
觀察圖形知點(diǎn)，A到直線3a+2b-6=0的距離的平方d²為λ的最小值　　
而d2=

(3×3-2×1-6)2

32+22

=

1

13

故λ的取值范圍是(

1

13

，+∞)…..（13分）．