已知f(x)=x3-ax2-4x(a為常數(shù)),若函數(shù)f(x)在x=2處取得一個(gè)極值,
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,c),(c≠-8)可作曲線y=f(x)的三條切線,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.
(1)f'(x)=3x2-2ax-4∴f'(2)=12-4a-4=0∴a=2∴f'(x)=3x2-4x-4由f'(x)>0得x>2或x<-
2
3
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,-
2
3
),(2,+∞),f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-
2
3
,2)
(2)f(x)=x3-2x2-4x
設(shè)切點(diǎn)是(x0,x03-2x02-4x0),則f'(x0)=3x02-4x0-4∴切線方程為y-(x03-2x02-4x0)=(3x02-4x0-4)(x-x0
把點(diǎn)A(2,c)代入上式得2x03-8x02+8x0+8+c=0∵過(guò)點(diǎn)A可作y=f(x)的三條切線∴2x3-8x2+8x+8+c=0有三個(gè)不同的實(shí)根
設(shè)g(x)=2x3-8x2+8x+8+c,則g'(x)=6x2-16x+8,令g'(x)=0得x=
2
3
或x=2
∴g(x)在(-∞,
2
3
),(2,+∞)上單調(diào)遞增,在(
2
3
,2)上單調(diào)遞減
由題意
g(x)極大值=g(
2
3
)>0
g(x)極小值=g(2)<0
,解得-
280
27
<c<-8
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=ax+lnx(a∈R),
(Ⅰ)若a=-1,求曲線y=f(x)在x=
1
2
處的切線的斜率;
(Ⅱ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅲ)設(shè)g(x)=2x-2,若存在x1∈(0,+∞),對(duì)于任意x2∈[0,1],使f(x1)≥g(x2),求a的范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,a>0)其中,f(0)=3,f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).
(Ⅰ)若f′(-1)=f′(3)=-36,f′(5)=0,求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)若c=-6,函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)為x1,x2滿足-1<x1<1<x2<2.設(shè)λ=a2+b2-6a+2b+10,試求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

函數(shù)f(x)=excosx的圖象在點(diǎn)(0,f(0))處的切線傾斜角的余弦值為(  )
A.-
5
5
B.
5
5
C.
2
2
D.1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

設(shè)曲線f(x)=ax2+4,若x=1處切線斜率為2,則a的值為( 。
A.1B.-1C.2D.-2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

若函數(shù)f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)內(nèi)只有極小值,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是( 。
A.(0,1)B.(-∞,1)C.(0,+∞)D.(0,
1
2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

若f′(x0)=2,則
lim
k→0
f(x0-k)-f(x0)
2k
的值為(  )
A.-2B.2C.-1D.1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

點(diǎn)P是曲線y=x2-lnx上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線x-y-4=0的距離的最小值是______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知實(shí)數(shù)滿足,求的取值范圍。

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