已知函數(shù)f（x）=x2ex．
（1）求f（x）的極值．
（2）求f（x）在區(qū)間[t，0]上的最大值和最小值．
（1）f′（x）=xex（2+x）．
令f′（x）=0，解得x=0或-2．
由f′（x）＞0，解得x＞0或x＜-2，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-2）和（0，+∞）單調(diào)遞增；
由f′（x）＜0，解得-2＜x＜0，∴函數(shù)f（x）在（-2，0上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）在x=0取得極小值，f（0）=0；
在x=-2取得極大值，f（-2）=
4
e2
．
（2）①當0＞t≥-2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，0]上單調(diào)遞減，
∴當x=t時，函數(shù)f（x）取得最大值，且f（t）=t2et；當x=0時，函數(shù)f（x）取得最小值，且f（0）=0；
②當t＜-2時，函數(shù)f（x）在區(qū)間[t，-2）上單調(diào)遞增；函數(shù)f（x）在區(qū)間[-2，0]上單調(diào)遞減．
∴當x=-2時，函數(shù)f（x）取得最大值，且f（-2）=
4
e2
．
又f（t）=t2et，f（0）=0，
∴f（0）＜f（t），因此函數(shù)f（x）的最小值為f（0）=0．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

求函數(shù)，的最大值和最小值。

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=
3x2
．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求曲線y=f（x）在點x=1處的切線方程；
（3）求曲線y=f（x），y=|x|所圍成的圖形的面積S．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R），
（Ⅰ）若a=-1，求曲線y=f（x）在x=
1
2
處的切線的斜率；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）設g（x）=2x-2，若存在x1∈（0，+∞），對于任意x2∈[0，1]，使f（x1）≥g（x2），求a的范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知函數(shù)f（x）=alnx-x2，x=1是f（x）的一個極值點．
（1）求a的值；
（2）若方程f（x）+m=0在[
1
e
，e]內(nèi)有兩個不等實根，求m的取值范圍（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）；
（3）令g（x）=f（x）+3x，若g（x）的圖象與x軸交于A（x1，0），B（x2，0）（其中x1＜x2），求證：
5
2
＜x2-x1＜
7
2
．（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.7 e≈2.7）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

設函數(shù)f（x）=ax3+bx2+cx+d（a，b，c，d∈R，a＞0）其中，f（0）=3，f′（x）是f（x）的導函數(shù)．
（Ⅰ）若f′（-1）=f′（3）=-36，f′（5）=0，求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）若c=-6，函數(shù)f（x）的兩個極值點為x1，x2滿足-1＜x1＜1＜x2＜2．設λ=a2+b2-6a+2b+10，試求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

函數(shù)f（x）=excosx的圖象在點（0，f（0））處的切線傾斜角的余弦值為（　�。�
A．-
5
5
B．
5
5
C．
2
2
D．1

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

若函數(shù)f（x）=x3-6bx+3b在（0，1）內(nèi)只有極小值，則實數(shù)b的取值范圍是（　�。�
A．（0，1）B．（-∞，1）C．（0，+∞）D．（0，
1
2
）

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

已知曲線y=
x2
4
-3lnx的一條切線的斜率為
5
4
，則切點的橫坐標為（　�。�
A．1B．-
3
2
C．4D．4或-
3
2

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