已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)A（-1，1），離心率為
6
3

（I）求橢圓C的方程
（II）設(shè)點(diǎn)B是點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，P是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)（不同于A，B），直線AP，BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M，N，問是否存在點(diǎn)P使得△PAB和△PMN的面積相等，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出
1
a2
+
1
b2
=1
a2=b2+c2
c
a
=
6
3
，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P（x0，y0），設(shè)出直線AP的方程和直線BP的方程，由直線AP，BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M，N，得△PMN的面積=
|x0+y0|(3-x0)2
|x02-1|
，△PAB的面積=|x0+y0|，由此能確定存在點(diǎn)P使得△PAB和△△PMN的面積相等，并能求出點(diǎn)P坐標(biāo)．
解答： 解：（Ⅰ）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)過點(diǎn)A（-1，1），離心率為
6
3
，
∴
1
a2
+
1
b2
=1
a2=b2+c2
c
a
=
6
3
，解得a2=4，b2=
4
3
，
∴橢圓C的方程為
x2
4
+
3y2
4
=1．
（Ⅱ）如圖，B點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P（x0，y0），
則直線AP的方程為y-1=
y0-1
x0+1
(x-1)，
直線BP的方程為y+1=
y0+1
x0-1
(x+1)，
∵直線AP，BP分別與直線x=3交于點(diǎn)M，N，
∴令x=3，得yM=
4y0+x0-3
x0+1
，yN=
2y0-x0+3
x0-1
，
∴△PMN的面積S△PMN=
1
2
|yM-yN|（3-x0）
=
|x0+y0|(3-x0)2
|x02-1|
，
又∵AB=2
2
，直線AB的方程為x+y=0，
∴點(diǎn)P到直線AB的距離d=
|x0+y0|
2
，
∴△PAB的面積S△PAB=
1
2
AB•d=|x0+y0|，
∵點(diǎn)P不同于A，B，∴|x0+y0|≠0，
∴（3-x0）2=|x02-1|，
解得x0=
5
3
，從而y0=±
33
9
，
∴存在點(diǎn)P使得△PAB和△△PMN的面積相等，點(diǎn)P坐標(biāo)為（
5
3
，±
33
9
）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的確定，綜合性強(qiáng)，難度大，具有一定的確定
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若
x1
x1+1
=
x2
x2+3
=
x3
x3+5
=…
xn
xn+2n-1
，且x1+x2+…x2014=2014，則x1=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

給出如下四個(gè)命題：
①若“p且q”為假命題，則p、q均為假命題
②命題“若xy=0，則x=0或y=0”的否命題為“若xy≠0，則x≠0且y≠0”
③“任意x∈R，x2+1≥1”的否定是“存在x∈R，x2+1≤1”
④在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的充要條件
其中正確的命題的個(gè)數(shù)是（　�。�
A、4B、3C、2D、1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

將曲線C1：(x-4)2+y2=4所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的
1
2
得到曲線C2，將曲線C2向左（x軸負(fù)方向）平移4個(gè)單位，得到曲線C3．
（Ⅰ）求曲線C3的方程；
（Ⅱ）垂直于x軸的直線l與曲線C3相交于C、D兩點(diǎn)（C、D可以重合），已知A（-2，0），B（2，0），直線AC、BD相交于點(diǎn)P，求P點(diǎn)的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某礦產(chǎn)品按純度含量分成五個(gè)等級(jí)，純度X依次為A、B、C、D、E．現(xiàn)從一批該礦產(chǎn)品中隨機(jī)抽取20件，對(duì)其純度進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到頻率分布表如下：
X A B C D E
f a 0.2 0.45 b c
（Ⅰ）若所抽取的20件礦產(chǎn)品中，純度為D的恰有3件，純度為E的恰有2件，求a、b、c的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，從純度為D和E的5件礦產(chǎn)品巾任取兩件（每件礦產(chǎn)品被取出的可能性相同），求這兩件礦產(chǎn)品的純度恰好相等的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為
2
2
，P是橢圓上一點(diǎn)，且△PF1F2面積的最大值等于2．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)M（0，2）作直線l與直線MF2垂直，試判斷直線l與橢圓的位置關(guān)系．
（Ⅲ）直線y=2上是否存在點(diǎn)Q，使得從該點(diǎn)向橢圓所引的兩條切線相互垂直？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)A（1，2），其焦點(diǎn)F在y軸上，直線y=kx+2交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)N．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）證明：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

分別過橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）左、右焦點(diǎn)F1、F2的動(dòng)直線l1、l2相交于P點(diǎn)，與橢圓E分別交于A、B與C、D不同四點(diǎn)，直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為k1、k2、k3、k4，且滿足k1+k2=k3+k4，已知當(dāng)l1與x軸重合時(shí)，|AB|=2
3
，|CD|=
4
3
3
．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在定點(diǎn)M，N，使得|PM|+|PN|為定值？若存在，求出M、N點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)常數(shù)a∈R，若(x2+
a
x
)5的二項(xiàng)展開式中x4項(xiàng)的系數(shù)為20，則a=
 
．

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