Question

分別過(guò)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）左、右焦點(diǎn)F₁、F₂的動(dòng)直線l₁、l₂相交于P點(diǎn)，與橢圓E分別交于A、B與C、D不同四點(diǎn)，直線OA、OB、OC、OD的斜率分別為k₁、k₂、k₃、k₄，且滿足k₁+k₂=k₃+k₄，已知當(dāng)l₁與x軸重合時(shí)，|AB|=2

3

，|CD|=

4 3

3

．
（1）求橢圓E的方程；
（2）是否存在定點(diǎn)M，N，使得|PM|+|PN|為定值？若存在，求出M、N點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出|AB|=2a=2

3

，|CD|=

2b2

a

=

4 3

3

，由此能求出橢圓E的方程．
（2）焦點(diǎn)F₁、F₂坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），當(dāng)直線l₁或l₂斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）或（1，0），當(dāng)直線l₁，l₂斜率存在時(shí)，設(shè)斜率分別為m₁，m₂，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 3 + y2 2 =1 y=m1(x+1)

，得(2+3m12)x2+6m12x+3m12-6=0，由此利用韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能推導(dǎo)出存在點(diǎn)M，N其坐標(biāo)分別為（0，-1）、（0，1），使得|PM|+|PN|為定值2

2

．

解答： 解：（1）當(dāng)l₁與x軸重合時(shí)，k₁+k₂=k₃+k₄=0，
即k₃=-k₄，
∴l(xiāng)₂垂直于x軸，得|AB|=2a=2

3

，|CD|=

2b2

a

=

4 3

3

，
解得a=

3

，b=

2

，
∴橢圓E的方程為

x2

3

+

y2

2

=1．
（2）焦點(diǎn)F₁、F₂坐標(biāo)分別為（-1，0），（1，0），
當(dāng)直線l₁或l₂斜率不存在時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）或（1，0），
當(dāng)直線l₁，l₂斜率存在時(shí)，設(shè)斜率分別為m₁，m₂，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

x2 3 + y2 2 =1 y=m1(x+1)

，
得(2+3m12)x2+6m12x+3m12-6=0，
∴x1+x2=-

6m12

2+3m12

，x1x2=

3m12-6

2+3m12

，
k1+k2=

y1

x1

+

y2

x2

=m1(

x1+1

x1

+

x2+1

x2

)=m1(2+

x1+x2

x1x2

)=

-4m1

m12-2

，
同理k₃+k₄=

-4m2

m22-2

，
∵k₁+k₂=k₃+k₄，
∴

-4m1

m12-2

=

-4m2

m22-2

，即（m₁m₂+2）（m₂-m₁）=0，
由題意知m₁≠m₂，
∴m₁m₂+2=0，
設(shè)P（x，y），則

y

x+1

•

y

x-1

+2=0，
即

y2

2

+x2=1，x≠±1，
由當(dāng)直線l₁或l₂斜率不存在時(shí)，
P點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）或（1，0）也滿足，
∴點(diǎn)P（x，y）點(diǎn)在橢圓

y2

2

+x2=1上，
∴存在點(diǎn)M，N其坐標(biāo)分別為（0，-1）、（0，1），
使得|PM|+|PN|為定值2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查是否存在定點(diǎn)M，N，使得|PM|+|PN|為定值的判斷與證明，對(duì)數(shù)學(xué)思維的要求較高，有一定的探索性，解題時(shí)要注意函數(shù)與方程思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．