Question

將曲線C1：(x-4)2+y2=4所有點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="jtdvirn" class="MathJye">

1

2

得到曲線C₂，將曲線C₂向左（x軸負方向）平移4個單位，得到曲線C₃．
（Ⅰ）求曲線C₃的方程；
（Ⅱ）垂直于x軸的直線l與曲線C₃相交于C、D兩點（C、D可以重合），已知A（-2，0），B（2，0），直線AC、BD相交于點P，求P點的軌跡方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件推導(dǎo)出C₂：（x-4）²+（2x）²=1，再由平移的計算能求出曲線C₃的方程．
（Ⅱ）若C、D重合，則P（-2，0）或P（2，0），若C、D不重合，設(shè)C（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），則D（x₀，-y₀），由此能求出P點的軌跡方程．

解答： 解：（Ⅰ） 將C1：(x-4)2+y2=1所有點的橫坐標不變，
縱坐標變?yōu)樵瓉淼?span id="itdvumw" class="MathJye">

1

2

得到的曲線方程為（x-4）²+（2x）²=1，
即C₂：（x-4）²+（2x）²=1，
再將C₂：（x-4）²+（2x）²=1向左平移4個單位得到的曲線方程為x²+（2x）²=4，
即曲線C₃的方程為

x2

4

+y2=1．…（6分）
（Ⅱ）若C、D重合，則P（-2，0）或P（2，0），
若C、D不重合，設(shè)C（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2），則D（x₀，-y₀），
∴直線AC的方程為y=

y0

x0+2

(x+2)，
直線BD的直線方程為y=-

y0

x0-2

(x-2)，
∴y2=-

y 2 0

(x0+2)(x0-2)

(x+2)(x-2)，
即y2=-

y 2 0

x 2 0 -4

(x2-4)．（1）
∵C、D點在C₃：

x2

4

+y2=1上，
∴

x 2 0

4

+

y

2 0

=1，
∴-

y 2 0

x 2 0 -2

=

1

4

，（2）
把（2）代入（1）化簡得  

x2

4

-y2=1．
綜上所述，P點的軌跡方程為

x2

4

-y2=1．…（12分）

點評：本題考查曲線方程的求法，考查點的軌跡方程的求法，解題時要注意伸縮變換和平移變換的合理運用．