Question

在美國(guó)廣為流傳的一道數(shù)學(xué)題目是：老板給你兩種加工資的方案．第一種方案是每年年末（12月底）加薪一次，每次所加的工資數(shù)是在上次所加工資數(shù)的基礎(chǔ)上再增加1000元；第二種方案是每半年（6月底和12月底）各加薪一次，每次所加的工資數(shù)是在上次所加工資數(shù)的基礎(chǔ)上再增加300元，請(qǐng)選擇一種．
根據(jù)上述條件，試問(wèn)：
（1）如果你將在該公司干十年，你將選擇哪一種加工資的方案？（說(shuō)明理由）
（2）如果第二種方案中的每半年加300元改成每半年加a元，那么a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，選擇第二種方案總是比選擇第一種方案多加薪？

Answer 1

分析：（1）為了決定選擇哪一種加工資的方案，主要看看第10年末，哪一個(gè)方案薪金更多，故只要計(jì)算出兩個(gè)方案的薪金總量即可；
（2）先計(jì)算出第n年末，依第一方案，得到的薪金；依第二方案，得到的薪金，由題意an（2n+1）＞500n（n+1），對(duì)所有正整數(shù)恒成立，最后分離出參數(shù)a，即可求得a在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，選擇第二種方案總是比選擇第一種方案多加薪．

解答：解：（1）：（1）由題意，第一方案每年的加薪額，第二方案每半年的加薪額都構(gòu)成等差數(shù)列
第10年末，第一方案加薪總額為：1000+2000+3000+…+10000=55000元，
第二方案加薪總額為：300+300×2+300×3+…+300×20=63000元，
所以在該公司干10年，選擇第二方案比選擇第一方案多加薪：63000-55000=8000元；
（2）第一種方案這n年他總共的工資：12nx+1000

1000+1000(n-1)

2

×(n-1)×12=12nx+6000n（n-1）
第二種方案這n年他總共的工資：12nx+6an（2n-1）
6an（2n-1）＞6000n（n-1），即a＞

1000(n-1)

2n-1

=

1000(1- 1 n )

2- 1 n

，當(dāng)n趨向于無(wú)窮大時(shí)，不等式左邊趨向于500
故當(dāng)a≥500時(shí)，選擇第二種方案總是比選擇第一種方案多加薪

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、數(shù)列求和及函數(shù)的最值、恒成立問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．