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學數學,其實是要使人聰明,使人的思維更加縝密,在美國廣為流傳的一道數學題目是:老板給你兩個加工資的方案.一是每年年末加一千元;二是每半年結束時加300元.請選擇一種.一般不擅長數學的人很容易選擇前者,因為一年加一千元總比兩個半年共加600元要多.其實,由于工資累計的,時間稍長,往往第二種方案更有利.例如在第二年的年末,依第一種方案可以加得1000+2000=3000元,而第二種方案在第一年加得300+600=900元,第二年加得900+1200=2100元,總數也是900+2100=3000元.但到了第三年,第一種方案可以得到1000+2000+3000=6000元,第二種方案可以得到300+600+900+1200+1500+1800=6300元,比第一方案多了300元.第四年,第五年會更多.因此,你若會在公司干三年以上,則應選擇第二種方案.
根據以上材料,解答以下問題:
(1)如果在該公司干10年,問選擇第二方案比選擇第一方案多加薪多少元?
(2)如果第二方案中得每半年加300元改成每半年加 a元,問 a取何值時,選擇第二方案總是比選擇第一方案多加薪?
分析:(1)第一方案、第二方案的加薪額都是遞增的等差數列,到第10年末,第一方案加薪總額為:1000+2000+3000+…+10000;第二方案加薪總額為:300+300×2+300×3+…+300×20;在該公司干滿10年,作差比較可知,第二方案比第一方案多加薪多少;
(2)第n年(n∈N*)選擇第二方案總比選擇第一方案加薪多,即等差數列的前n項和:2na+
2n(2n-1)
2
a>1000n+
n(n-1)
2
×1000;整理,得a
500(n+1)
2n+1
,右邊=250(1+
1
2n+1
)
,對于n∈N*時恒成立,存在最大值,從而得出a的取值范圍.
解答:解:(1)由題意,第一方案每年的加薪額,第二方案每半年的加薪額都構成等差數列
第10年末,第一方案加薪總額為:1000+2000+3000+…+10000=55000元,
第二方案加薪總額為:300+300×2+300×3+…+300×20=63000元,
所以在該公司干10年,選擇第二方案比選擇第一方案多加薪:63000-55000=8000元;
(2)由題意,第n年(n∈N*)選擇第二方案總比選擇第一方案加薪多,
則由等差數列的前n項和公式:2na+
2n(2n-1)
2
a>1000n+
n(n-1)
2
×1000
化簡得a
500(n+1)
2n+1
=250(1+
1
2n+1
)
,對于n∈N*時恒成立,
又當n=1時,
1
2n+1
取最大值
1
3
,此時250(1+
1
2n+1
)
取得最大值
1000
3
;所以,
當a>
1000
3
時選擇第二方案總是比選擇第一方案多加薪.
點評:本題考查了數列與函數,以及不等式的綜合應用,也考查了靈活應用知識解決實際問題的能力.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

近日國內某大報紙有如下報導:

      加薪的學問
      學數學,其實是要使人聰明,使人的思維更加縝密.在美國廣為流傳的一道數學題目:老板給出兩個加工資的方案,一是每年年末加一千;二是每半年結束時加300元,請選一種.一般不擅長數學的,很容易選前者,因為一年加一千元總比兩半年共600元要多.其實,由于加工資是累計的,時間稍長,往往第二種方案更有利.例如,在二年的年末,依第一種方案可以加得1000+2000=3000元,而第二種方案在第一年加得300+600元,第二年加得900+1200=2100元,總數也是3000元.但到第三年,第一方案可得1000+2000+3000=6000元,第二種方案則為300+600+900+1200+1500+1800=6300元,比第一方案多了300元.第四年、第五年會更多.因此,你若會在該公司工作三年以上,則應選擇第二方案.根據以上材料,解答下列問題:
      (1)如果在該公司干10年,問選擇第二方案比選擇第一方案多加薪水多少元?
      (2)如果第二方案中的每半年加300元改成每半年加a元,問a取何值時,總是選擇第二方案比選擇第一方案多加薪?

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      科目:高中數學 來源: 題型:解答題

      學數學,其實是要使人聰明,使人的思維更加縝密,在美國廣為流傳的一道數學題目是:老板給你兩個加工資的方案.一是每年年末加一千元;二是每半年結束時加300元.請選擇一種.一般不擅長數學的人很容易選擇前者,因為一年加一千元總比兩個半年共加600元要多.其實,由于工資累計的,時間稍長,往往第二種方案更有利.例如在第二年的年末,依第一種方案可以加得1000+2000=3000元,而第二種方案在第一年加得300+600=900元,第二年加得900+1200=2100元,總數也是900+2100=3000元.但到了第三年,第一種方案可以得到1000+2000+3000=6000元,第二種方案可以得到300+600+900+1200+1500+1800=6300元,比第一方案多了300元.第四年,第五年會更多.因此,你若會在公司干三年以上,則應選擇第二種方案.
      根據以上材料,解答以下問題:
      (1)如果在該公司干10年,問選擇第二方案比選擇第一方案多加薪多少元?
      (2)如果第二方案中得每半年加300元改成每半年加 a元,問 a取何值時,選擇第二方案總是比選擇第一方案多加薪?

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      科目:高中數學 來源:不詳 題型:解答題

      學數學,其實是要使人聰明,使人的思維更加縝密,在美國廣為流傳的一道數學題目是:老板給你兩個加工資的方案.一是每年年末加一千元;二是每半年結束時加300元.請選擇一種.一般不擅長數學的人很容易選擇前者,因為一年加一千元總比兩個半年共加600元要多.其實,由于工資累計的,時間稍長,往往第二種方案更有利.例如在第二年的年末,依第一種方案可以加得1000+2000=3000元,而第二種方案在第一年加得300+600=900元,第二年加得900+1200=2100元,總數也是900+2100=3000元.但到了第三年,第一種方案可以得到1000+2000+3000=6000元,第二種方案可以得到300+600+900+1200+1500+1800=6300元,比第一方案多了300元.第四年,第五年會更多.因此,你若會在公司干三年以上,則應選擇第二種方案.
      根據以上材料,解答以下問題:
      (1)如果在該公司干10年,問選擇第二方案比選擇第一方案多加薪多少元?
      (2)如果第二方案中得每半年加300元改成每半年加 a元,問 a取何值時,選擇第二方案總是比選擇第一方案多加薪?

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      科目:高中數學 來源: 題型:

      (本小題滿分12分)學數學,其實是要使人聰明,使人的思維更加縝密,在美國廣為流傳的一道數學題目是:老板給你兩個加工資的方案。一是每年年末加一千元;二是每半年結束時加300元。請選擇一種。一般不擅長數學的人很容易選擇前者,因為一年加一千元總比兩個半年共加600元要多。其實,由于工資累計的,時間稍長,往往第二種方案更有利。例如在第二年的年末,依第一種方案可以加得1000+2000=3000元,而第二種方案在第一年加得300+600=900元,第二年加得900+1200=2100元,總數也是900+2100=3000元。但到了第三年,第一種方案可以得到1000+2000+3000=6000元,第二種方案可以得到300+600+900+1200+1500+1800=6300元,比第一方案多了300元。第四年,第五年會更多。因此,你若會在公司干三年以上,則應選擇第二種方案。

      根據以上材料,解答以下問題:
       。1)如果在該公司干10年,問選擇第二方案比選擇第一方案多加薪多少元?
        (2)如果第二方案中得每半年加300元改成每半年加 元,問 取何值時,選                                 擇第二方案總是比選擇第一方案多加薪?

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