Question

各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₁=1，2a₂+a₃=15．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}通項公式；
（Ⅱ）若等差數(shù)列{b_n}滿足b₁=a₂，b₃=a₃，求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的前n項和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用等比數(shù)列的通項公式，求出公比，從而可求出數(shù)列{a_n}通項公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=3n-1，利用b₁=a₂，b₃=a₃，可求得b_n=3n，從而得到anbn=n•3n，利用錯位相減法能求出數(shù)列{a_nb_n}的前n項和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）由題意知q＞0，2q+q²=15，
解得q=3或q=-5（舍），
∴a₁=1，
∴an=3n-1．
（Ⅱ）設等差數(shù)列{b_n}的公差為d，
∵b₁=a₂，b₃=a₃，
∴b₁=3，b₁+2d=9，解得d=3，
∴b_n=3+3（n-1）=3n，
∵an=3n-1，
∴anbn=n•3n，
∴Sn=1×3+2×32+3×33+…+n•3n，①
3S_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，②
①-②，得：
-2S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=

3

2

(3n-1)-n•3n+1，
∴S_n=

n

2

•3n+1-

3

2

n+

3

4

．

點評：本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意錯位相減法的合理運用．