【題目】如圖6,四棱柱的所有棱長都相等,,四邊形和四邊形為矩形.
(1)證明:底面;
(2)若,求二面角的余弦值.
【答案】(1) 詳見解析 (2)
【解析】
試題分析:(1)要證明線面垂直,只需要在面內(nèi)找到兩條相交的線段與之垂直即可,即證明與垂直,首先利用四棱柱所有棱相等,得到上下底面為菱形,進(jìn)而得到均為中點(diǎn),得到三者相互平行,四邊形均為矩形與平行相結(jié)合即可得到與垂直,進(jìn)而證明線面垂直.
(2)要求二面角,此問可以以以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸建立三維直角坐標(biāo)系,利用空間向量的方法得到二面角的余弦值,在此說明第一種方法,做出二面角的平面角, 過作的垂線交于點(diǎn),連接.利用(1)得到,在利用四邊形為菱形,對(duì)角線相互垂直,兩個(gè)垂直關(guān)系即可得到垂直于平面,進(jìn)而得到,結(jié)合得到線面垂直,說明角即為哦所求二面角的平面角,設(shè)四棱柱各邊長為,利用勾股定理求出相應(yīng)邊長即可得到角的余弦值,進(jìn)而得到二面角的余弦值.
(1)證明:四棱柱的所有棱長都相等
四邊形和四邊形均為菱形
分別為中點(diǎn)
四邊形和四邊形為矩形
且
又且底面
底面.
(2)法1::過作的垂線交于點(diǎn),連接.不妨設(shè)四棱柱的邊長為.
底面且底面面
面
又面
四邊形為菱形
又且,面
面
又面
又且,面
面
為二面角的平面角,則
且四邊形為菱形
,,
則
再由的勾股定理可得,
則,所以二面角的余弦值為.
法2:因?yàn)樗睦庵?/span>的所有棱長都相等,所以四邊形是菱形,因此,又面,從而兩兩垂直,如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線分別為軸,軸,軸建立三維直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),因?yàn)?/span>,所以,,于是各點(diǎn)的坐標(biāo)為:,已知是平面的一個(gè)法向量,設(shè)是平面的一個(gè)法向量,則,,取,則,
所以,,故二面角的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))在上有兩個(gè)零點(diǎn),則的范圍是( )
A. B. C. D.
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【題目】在直角坐標(biāo)系中,射線的方程為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的方程為.一只小蟲從點(diǎn)沿射線向上以單位/min的速度爬行
(1)以小蟲爬行時(shí)間為參數(shù),寫出射線的參數(shù)方程;
(2)求小蟲在曲線內(nèi)部逗留的時(shí)間.
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【題目】已知函數(shù),且曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)求證:時(shí),.
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【題目】如圖是某學(xué)校研究性課題《什么樣的活動(dòng)最能促進(jìn)同學(xué)們進(jìn)行垃圾分類》向題的統(tǒng)計(jì)圖(每個(gè)受訪者都只能在問卷的5個(gè)活動(dòng)中選擇一個(gè)),以下結(jié)論錯(cuò)誤的是( 。
A. 回答該問卷的總?cè)藬?shù)不可能是100個(gè)
B. 回答該問卷的受訪者中,選擇“設(shè)置分類明確的垃圾桶”的人數(shù)最多
C. 回答該問卷的受訪者中,選擇“學(xué)校團(tuán)委會(huì)宣傳”的人數(shù)最少
D. 回答該問卷的受訪者中,選擇“公益廣告”的人數(shù)比選擇“學(xué)校要求”的少8個(gè)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,甲從A到B,乙從C到D,兩人每次都只能向上或者向右走一格,如果兩個(gè)人的線路不相交,則稱這兩個(gè)人的路徑為一對(duì)孤立路,那么不同的孤立路一共有________對(duì). (用數(shù)字作答)
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【題目】某公園為了美化環(huán)境和方便顧客,計(jì)劃建造一座圓弧形拱橋,已知該橋的剖面如圖所示,共包括圓弧形橋面和兩條長度相等的直線型路面、,橋面跨度的長不超過米,拱橋所在圓的半徑為米,圓心在水面上,且和所在直線與圓分別在連結(jié)點(diǎn)和處相切.設(shè),已知直線型橋面每米修建費(fèi)用是元,弧形橋面每米修建費(fèi)用是元.
(1)若橋面(線段、和弧)的修建總費(fèi)用為元,求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)為何值時(shí),橋面修建總費(fèi)用最低?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了研究高二階段男生、女生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)的差異性,在高二年級(jí)所有學(xué)生中隨機(jī)抽取25名男生和25名女生,計(jì)算他們高二上學(xué)期期中、期末和下學(xué)期期中、期末的四次數(shù)學(xué)考試成績的各自的平均分,并繪制成如圖所示的莖葉圖.
(1)請(qǐng)根據(jù)莖葉圖判斷,男生組與女生組哪組學(xué)生的數(shù)學(xué)成績較好?請(qǐng)用數(shù)據(jù)證明你的判斷;
(2)以樣本中50名同學(xué)數(shù)學(xué)成績的平均分x0(79.68分)為分界點(diǎn),將各類人數(shù)填入如下的列聯(lián)表:
分?jǐn)?shù) 性別 | 高于或等于x0 | 低于x0 | 合計(jì) |
男生 | |||
女生 | |||
合計(jì) |
(3)請(qǐng)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表,判斷能否有99%的把握認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)能力與性別有關(guān)?
附:K2=
P(K2≥k0) | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】設(shè)函數(shù).若在上的最大值為2,則實(shí)數(shù)a所有可能的取值組成的集合是________.
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