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【題目】已知橢圓的左、右焦點為、.

（1）求以為焦點，原點為頂點的拋物線方程；

（2）若橢圓上點滿足，求的縱坐標；

（3）設，若橢圓上存在兩個不同點、滿足，證明：直線過定點，并求該定點的坐標.

【答案】（1）；（2）；（3）直線過定點.

【解析】

(1)由橢圓方程可求出左焦點的坐標,由此可求出拋物線的方程;

(2)根據橢圓定義以及余弦定理可求出,再根據面積關系列式可求得結果;

(3)聯(lián)立直線,與拋物線方程,消去得到關于的一元二次方程,根據韋達定理得到兩根之和與兩根之積,再根據向量相乘為0列式可解得,從而可得.

(1)在橢圓中,,,所以,

所以,所以,

所以在拋物線中,所以,

所以以為焦點，原點為頂點的拋物線方程為:,即.

(2)設,,,

在三角形中,,

由余弦定理得:,

所以得,

得,又,

所以,

所以,

即,

解得:,所以;

(3)直線的斜率顯然存在,設直線的方程為:,

聯(lián)立 ,消去并整理得:,

設,,

則,即,

,,

因為,

所以,

所以,

所以,

所以,

化簡得:,

因為,所以,

所以直線 :過定點.

練習冊系列答案
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（2）若在曲線上，求的最小值；

（3）若曲線和圓的“點確視角”相等，求點坐標.

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(1) 求拋物線的方程；

(2) 當點為直線上的定點時，求直線的方程；

(3) 當點在直線上移動時，求的最小值．

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（3）在（2）的條件下，函數與直線y=-x+m有三個公共點，求m的取值范圍.(直接寫出答案)

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（Ⅱ）設橢圓過右焦點的弦為、過原點的弦為，若，求證：為定值.

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