【題目】已知橢圓的左、右焦點為、.

（1）求以為焦點，原點為頂點的拋物線方程；

（2）若橢圓上點滿足，求的縱坐標(biāo)；

（3）設(shè)，若橢圓上存在兩個不同點、滿足，證明：直線過定點，并求該定點的坐標(biāo).

【答案】（1）；（2）；（3）直線過定點.

【解析】

(1)由橢圓方程可求出左焦點的坐標(biāo),由此可求出拋物線的方程;

(2)根據(jù)橢圓定義以及余弦定理可求出,再根據(jù)面積關(guān)系列式可求得結(jié)果;

(3)聯(lián)立直線,與拋物線方程,消去得到關(guān)于的一元二次方程,根據(jù)韋達定理得到兩根之和與兩根之積,再根據(jù)向量相乘為0列式可解得,從而可得.

(1)在橢圓中,,,所以,

所以,所以,

所以在拋物線中,所以,

所以以為焦點，原點為頂點的拋物線方程為:,即.

(2)設(shè),,,

在三角形中,,

由余弦定理得:,

所以得,

得,又,

所以,

所以,

即,

解得:,所以;

(3)直線的斜率顯然存在,設(shè)直線的方程為:,

聯(lián)立 ,消去并整理得:,

設(shè),,

則,即,

,,

因為,

所以,

所以,

所以,

所以,

化簡得:,

因為,所以,

所以直線 :過定點.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）若不等式的解集為，求a的值；

（2）在（1）的條件下，若存在，使，求t的取值范圍．

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【題目】對任意實數(shù)x和任意，恒有，則實數(shù)a的取值范圍為_____．

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【題目】某海域有兩個島嶼，島在島正東4海里處，經(jīng)多年觀察研究發(fā)現(xiàn)，某種魚群洄游的路線是曲線，曾有漁船在距島、島距離和為8海里處發(fā)出過魚群。以所在直線為軸，的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系.

（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）某日，研究人員在兩島同時用聲納探測儀發(fā)出不同頻率的探測信號（傳播速度相同），兩島收到魚群在處反射信號的時間比為，問你能否確定處的位置（即點的坐標(biāo)）？

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【題目】如圖（1）所示，五邊形中，，，分別是線段的中點，且，現(xiàn)沿翻折，使得，得到的圖形如圖（2）所示.

圖（1） 圖（2）

（1）證明：平面；

（2）若平面與平面所成角的平面角的余弦值為，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于曲線所在的平面上的定點，若存在以點為頂點的角，使得對于曲線上的任意兩個不同的點恒成立，則稱角為曲線的“點視角”，并稱其中最小的“點視角”為曲線相對于點的”點確視角”.已知曲線和圓是軸上一點

（1）對于坐標(biāo)原點，寫出曲線的“點確視角”的大��；

（2）若在曲線上，求的最小值；

（3）若曲線和圓的“點確視角”相等，求點坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知拋物線的頂點為原點，其焦點到直線的距離為．設(shè)為直線上的點，過點作拋物線的兩條切線，其中為切點．

(1) 求拋物線的方程；

(2) 當(dāng)點為直線上的定點時，求直線的方程；

(3) 當(dāng)點在直線上移動時，求的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)b=0時，求函數(shù)的極小值；

（2）若已知b>1且函數(shù)與直線y=-x相切，求b的值；

（3）在（2）的條件下，函數(shù)與直線y=-x+m有三個公共點，求m的取值范圍.(直接寫出答案)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓的短軸為直徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓過右焦點的弦為、過原點的弦為，若，求證：為定值.

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