Question

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)到直線的距離為．設(shè)為直線上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線的兩條切線，其中為切點(diǎn)．

(1) 求拋物線的方程；

(2) 當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí)，求直線的方程；

(3) 當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí)，求的最小值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)

【解析】試題分析：（1）設(shè)拋物線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離,求出,得到拋物線方程；（2）對(duì)拋物線方程求導(dǎo),求出切線的斜率,用點(diǎn)斜式寫出切線方程,化成一般式,找出共同點(diǎn),得到直線的方程；（3）由拋物線定義可知，聯(lián)立直線與拋物線方程,消去,得到一個(gè)關(guān)于的一元二次方程,由韋達(dá)定理求得的值,還有,將表示成的二次函數(shù)的形式,再求出最值.

試題解析: 解：（1）依題意，設(shè)拋物線的方程為，由結(jié)合，

解得，所以拋物線的方程為.

（2）拋物線的方程為，即，求導(dǎo)得，

設(shè) (其中)則切線的斜率分別為，

所以切線的方程為，即，即，

同理可得切線的方程為，

因?yàn)榍芯�均過(guò)點(diǎn)，所以， ，

所以為方程的兩組解，

所以直線的方程為.

（3）由拋物線定義可知，

聯(lián)立方程，消去整理得.

由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，

所以

又點(diǎn)在直線上，所以，

所以，

所以當(dāng)時(shí)， 取得最小值,且取得最小值為.