【題目】已知橢圓的離心率為，以橢圓的短軸為直徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓過(guò)右焦點(diǎn)的弦為、過(guò)原點(diǎn)的弦為，若，求證：為定值.

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)證明見(jiàn)解析.

【解析】

試題分析：

(Ⅰ)由題意結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得.結(jié)合離心率計(jì)算公式有.則橢圓的方程為.

(Ⅱ)對(duì)直線的斜率分類討論：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程有，由弦長(zhǎng)公式可得.聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式有.計(jì)算可得.據(jù)此可得：為定值.

試題解析：

（Ⅰ）依題意，原點(diǎn)到直線的距離為，

則有.

由，得.

∴橢圓的方程為.

（Ⅱ）證明：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易求，，

則.

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，

設(shè)直線的斜率為，依題意，

則直線的方程為，直線的方程為.

設(shè)，，，，

由得，

則，，

.

由整理得，則.

.

∴.

綜合（1）（2），為定值.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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