Question

已知函數(shù)f（x）=x²-mx+m-1．
（1）若函數(shù)y=lgf（x）在[2，4]上有意義，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若函數(shù)y=|f（x）|在[-1，0]上單調(diào)遞減，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若對于區(qū)間[2，

5

2

]內(nèi)任意兩個相異實數(shù)x₁，x₂，總有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)的值域

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）若函數(shù)y=lgf（x）在[2，4]上有意義，則x²-mx+m-1＞0，對任意的x∈[2，4]恒成立，即m（x-1）＜x²-1對任意的x∈[2，4]恒成立，即m＜x+1對任意的x∈[2，4]恒成立，進而可得實數(shù)m的取值范圍；
（2）結(jié)合函數(shù)y=|f（x）|的圖象和性質(zhì)，由[-1，0]上單調(diào)遞減，分類討論滿足條件的實數(shù)m的取值范圍，最后綜合討論結(jié)果，可得答案；
（3）若對于區(qū)間[2，

5

2

]內(nèi)任意兩個相異實數(shù)x₁，x₂，且f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂-m）|（x₁-x₂）（x₁+x₂-m）|≤|x₁-x₂|（x₁≠x₂）恒成立，|m-（x₁+x₂）|≤1對任意的x₁，x₂在[2，

5

2

]上恒成立，則（x₁+x₂）-1≤m≤（x₁+x₂）+1恒成立，進而可得實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）若函數(shù)y=lgf（x）在[2，4]上有意義，
則x²-mx+m-1＞0，對任意的x∈[2，4]恒成立，
即m（x-1）＜x²-1對任意的x∈[2，4]恒成立，
即m＜x+1對任意的x∈[2，4]恒成立，
∴m＜3
故實數(shù)m的取值范圍（-∞，3）…（5分）
（2）令x²-mx+m-1=0，解得x=1或x=m-1
當m-1≥1，即m≥2時，函數(shù)f（x）在[-1，0]上恒非負且減，滿足條件；
當m-1＜1，即m＜2時，若函數(shù)y=|f（x）|在[-1，0]上單調(diào)遞減，
則m-1≥0或

m

2

≤-1
解得m≤-2
綜上所述：m≤-2或m≥1
故實數(shù)m的取值范圍（-∞，-2]∪[1，+∞）…（10分）
（3）若對于區(qū)間[2，

5

2

]內(nèi)任意兩個相異實數(shù)x₁，x₂，
且f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂）（x₁+x₂-m）|（x₁-x₂）（x₁+x₂-m）|≤|x₁-x₂|（x₁≠x₂）恒成立，…12分
則|m-（x₁+x₂）|≤1對任意的x₁，x₂在[2，

5

2

]上恒成立．
則（x₁+x₂）-1≤m≤（x₁+x₂）+1恒成立…（14分）
∴4≤m≤5
故實數(shù)m的取值范圍為[4，5]…（16分）

點評：本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)圖象的對折變換，恒成立問題，是函數(shù)圖象和性質(zhì)的綜合應(yīng)用，難度較大．